Determine os máximos e mínimos (caso existam) da função dada:
f(x)=e^{x}-e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine os máximos e mínimos (caso existam) da função dada: f(x)=e^{x}-e^{3x}".
Informações dadas relevantes:
  • A função é f(x)=e^{x}-e^{3x}.
  • O domínio natural implícito é todo x\in\mathbb{R} (funções exponenciais estão definidas para todo real).

Passo 2

Análise do comportamento nas extremidades do domínio (importante para saber se há máximo global ou mínimo global). Vou calcular os limites quando x vai para +\infty e para -\infty.
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\bigl(e^{x}-e^{3x}\bigr).
Como e^{3x} cresce muito mais rápido que e^{x} quando x\to+\infty, o termo dominante é -e^{3x}, então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\bigl(e^{x}-e^{3x}\bigr).
Quando x\to-\infty, ambos e^{x} e e^{3x} tendem a 0, mas e^{3x} vai a 0 mais rápido; portanto e^{x}-e^{3x} tende a 0 por valores positivos. Assim
\lim_{x\to-\infty}f(x)=0^{+}.
Conclusão desta etapa: a função vai a -\infty à direita e aproxima-se de 0 por cima à esquerda. Isso já indica que não haverá mínimo global finito (vai a -\infty), e que se houver um máximo global deve ser finito e possivelmente alcançado num ponto crítico.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos calculando a derivada f'(x) e resolvendo f'(x)=0.
Regra que usamos: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}. Aqui temos soma e subtração de exponenciais, então derivamos termo a termo.
Derivando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr)=e^{x}-3e^{3x}.
É útil fatorar e^{x} (sempre positivo), para facilitar a solução:
f'(x)=e^{x}\bigl(1-3e^{2x}\bigr).

Passo 4

Resolver f'(x)=0. Como e^{x}>0 para todo x, a condição f'(x)=0 é equivalente a
1-3e^{2x}=0.
Isolando e^{2x}:
e^{2x}=\frac{1}{3}.
Aplicando logaritmo natural (explicando: \ln(e^{2x})=2x, e \ln(1/3)=-\ln 3):
2x=\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-\ln 3,
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x=-\tfrac{1}{2}\ln 3.
Esse é o único ponto crítico, porque a equação deu uma única solução.

Passo 5

Classificação do ponto crítico usando a segunda derivada (teste da segunda derivada). Regra: se f''(x_c)<0 então há máximo local em x_c; se f''(x_c)>0 então mínimo local; se f''(x_c)=0 o teste é inconclusivo.
Calcule f''(x) derivando f'(x)=e^{x}-3e^{3x}:
f''(x)=e^{x}-9e^{3x}.
Fatorando:
f''(x)=e^{x}\bigl(1-9e^{2x}\bigr).
Agora avalio em x_c=-\tfrac{1}{2}\ln 3. Já sabemos que em x_c vale e^{2x_c}=\tfrac{1}{3}. Substituindo:
1-9e^{2x_c}=1-9\cdot\frac{1}{3}=1-3=-2.
Como e^{x_c}>0, segue que
f''(x_c)=e^{x_c}\cdot(-2)<0.
Portanto f tem um máximo local em x_c. Como havia apenas um ponto crítico e a função tende a -\infty à direita e a 0^{+} à esquerda, esse máximo local é também máximo global (valor finito maior que todos os outros).

Passo 6

Determinar o valor máximo f(x_c). Precisamos calcular e^{x_c} e e^{3x_c}. Usamos e^{2x_c}=\tfrac{1}{3}. Então
e^{x_c}=\sqrt{e^{2x_c}}=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}.
E
e^{3x_c}=e^{x_c}\cdot e^{2x_c}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3\sqrt{3}}.
Agora o valor de f em x_c:
f(x_c)=e^{x_c}-e^{3x_c}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}-\tfrac{1}{3\sqrt{3}}=\tfrac{2}{3\sqrt{3}}.
Podemos racionalizar o denominador se quisermos:
\tfrac{2}{3\sqrt{3}}=\tfrac{2\sqrt{3}}{9}.

Passo 7

Verificação rápida de monotonicidade (para consolidar a conclusão): de f'(x)=e^{x}(1-3e^{2x}), como e^{x}>0,
  • se e^{2x}<\tfrac{1}{3} (ou seja x<x_c) então f'(x)>0 e a função é crescente à esquerda de x_c;
  • se e^{2x}>\tfrac{1}{3} (ou seja x>x_c) então f'(x)<0 e a função é decrescente à direita de x_c.
    Isso confirma que o ponto crítico é um máximo (subida antes, descida depois).

Resposta

Máximo global em x=-\tfrac{1}{2}\ln 3 com valor f\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln 3\bigr)=\tfrac{2}{3\sqrt{3}}=\tfrac{2\sqrt{3}}{9}.
Não existem mínimos (a função é não limitada inferiormente, \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty).

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