Determine os máximos e mínimos (caso existam) da função dada:
Passo 1
O enunciado pede: "Determine os máximos e mínimos (caso existam) da função dada:
".
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- A função é
. - O domínio natural implícito é todo
(funções exponenciais estão definidas para todo real).
Passo 2
Análise do comportamento nas extremidades do domínio (importante para saber se há máximo global ou mínimo global). Vou calcular os limites quando
vai para
e para
.
Como
cresce muito mais rápido que
quando
, o termo dominante é
, então
Quando
, ambos
e
tendem a
, mas
vai a
mais rápido; portanto
tende a
por valores positivos. Assim
Conclusão desta etapa: a função vai a
à direita e aproxima-se de
por cima à esquerda. Isso já indica que não haverá mínimo global finito (vai a
), e que se houver um máximo global deve ser finito e possivelmente alcançado num ponto crítico.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos críticos calculando a derivada
e resolvendo
.
Regra que usamos: a derivada de
em relação a
é
. Aqui temos soma e subtração de exponenciais, então derivamos termo a termo.
Derivando:
É útil fatorar
(sempre positivo), para facilitar a solução:
Passo 4
Resolver
. Como
para todo
, a condição
é equivalente a
Isolando
:
Aplicando logaritmo natural (explicando:
, e
):
logo
Esse é o único ponto crítico, porque a equação deu uma única solução.
Passo 5
Classificação do ponto crítico usando a segunda derivada (teste da segunda derivada). Regra: se
então há máximo local em
; se
então mínimo local; se
o teste é inconclusivo.
Calcule
derivando
:
Fatorando:
Agora avalio em
. Já sabemos que em
vale
. Substituindo:
Como
, segue que
Portanto
tem um máximo local em
. Como havia apenas um ponto crítico e a função tende a
à direita e a
à esquerda, esse máximo local é também máximo global (valor finito maior que todos os outros).
Passo 6
Determinar o valor máximo
. Precisamos calcular
e
. Usamos
. Então
E
Agora o valor de
em
:
Podemos racionalizar o denominador se quisermos:
Passo 7
Verificação rápida de monotonicidade (para consolidar a conclusão): de
, como
,
- se
(ou seja ) então e a função é crescente à esquerda de ; - se
(ou seja ) então e a função é decrescente à direita de .
Isso confirma que o ponto crítico é um máximo (subida antes, descida depois).
Resposta
Máximo global em
com valor
.
Não existem mínimos (a função é não limitada inferiormente, ).
Não existem mínimos (a função é não limitada inferiormente,