Determine os máximos e mínimos (caso existam) da função dada:
f(x)=\operatorname{arctg}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos (caso existam) da função
f(x)=\operatorname{arctg}\!\big(e^{x}\big).
Informações dadas e observações iniciais (apenas identificação, sem resolver ainda):
\;- A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (porque e^{x} é definida em \mathbb{R}).
\;- Para cada x temos e^{x}>0, logo o argumento de \operatorname{arctg} é sempre positivo.
\;- A pergunta principal é: existem pontos x onde f atinge máximo ou mínimo (locais ou globais)? Se sim, quais são esses pontos e os respectivos valores?

Passo 2

Vamos estudar o comportamento da função usando derivada (isso nos diz onde a função cresce/decresce e onde podem existir extremos). Antes de calcular, uma mini-aula sobre as ferramentas que vamos usar:
\;1. Regra da cadeia: se temos g(x)=h(u(x)), então g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=e^{x} e h(u)=\operatorname{arctg}(u).
\;2. Derivadas básicas que precisamos: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. E a derivada da função arco-tangente é
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Isto significa: para f(x)=\operatorname{arctg}(e^{x}) aplicamos a regra da cadeia.
Agora aplicando:
f'(x)=\frac{1}{1+\big(e^{x}\big)^{2}}\cdot \frac{d}{dx}e^{x}
em que \big(e^{x}\big)^{2}=e^{2x} e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Portanto,
f'(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.

Passo 3

Interpretação de f'(x) e consequências para extremos:
\;- Note que para todo x\in\mathbb{R} temos e^{x}>0 (numerador positivo) e 1+e^{2x}>0 (denominador positivo). Logo
f'(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto significa que f é estritamente crescente em toda a reta real.
\;- Consequência prática: uma função estritamente crescente não tem máximos ou mínimos locais em pontos interiores do domínio (porque não há pontos em que a derivada muda de sinal de + para - ou de - para +). Além disso, como o domínio é todo \mathbb{R} (sem extremos “finitos” de domínio), não haverá máximo ou mínimo global atingido em algum x\in\mathbb{R} salvo se houver um ponto onde a função atinge um valor extremo — mas a monotonicidade já indica que isso não ocorre em ponto finito (veremos os limites no próximo passo).
Também podemos verificar explicitamente que não existem pontos críticos ao resolver f'(x)=0: isso exigiria e^{x}=0, impossível. Então não há pontos críticos.

Passo 4

Agora vamos estudar os limites nas extremidades para saber se existem máximos ou mínimos assintóticos (infimum/supremum):
Calculamos
\lim_{x\to -\infty} e^{x}=0^{+}.
Como \operatorname{arctg} é contínua, podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}\operatorname{arctg}\!\big(e^{x}\big)=\operatorname{arctg}(0)=0.
Do outro lado,
\lim_{x\to +\infty} e^{x}=+\infty,
e sabemos que
\lim_{u\to +\infty}\operatorname{arctg}(u)=\frac{\pi}{2}.
Portanto
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Conclusões finais interpretando os limites junto com a monotonicidade:
\;- Como f é estritamente crescente e os limites nas extremidades são 0 (quando x\to-\infty) e \tfrac{\pi}{2} (quando x\to+\infty), todos os valores de f estão no intervalo aberto
\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big).
Isto mostra que 0 é o ínfimo (valor mínimo limite) de f e \tfrac{\pi}{2} é o supremo (valor máximo limite) de f, mas nenhum desses valores é atingido por um x finito.
\;- Assim, não existem mínimo nem máximo (nem local nem global) no conjunto de pontos reais: os extremos são assintóticos e não são alcançados.

Resposta

Não existem máximos nem mínimos para f em \mathbb{R}.
\inf f=0 (não atingido) e \sup f=\tfrac{\pi}{2} (não atingido).

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