Determine os máximos e mínimos (caso existam) da função dada:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos (caso existam) da função
Informações dadas e observações iniciais (apenas identificação, sem resolver ainda):
A função está definida para todo
(porque
é definida em
).
Para cada
temos
, logo o argumento de
é sempre positivo.
A pergunta principal é: existem pontos
onde
atinge máximo ou mínimo (locais ou globais)? Se sim, quais são esses pontos e os respectivos valores?
Passo 2
Vamos estudar o comportamento da função usando derivada (isso nos diz onde a função cresce/decresce e onde podem existir extremos). Antes de calcular, uma mini-aula sobre as ferramentas que vamos usar:
Isto significa: para
aplicamos a regra da cadeia.
Agora aplicando:
em que
e
. Portanto,
Passo 3
Interpretação de
e consequências para extremos:
Isto significa que
é estritamente crescente em toda a reta real.
Também podemos verificar explicitamente que não existem pontos críticos ao resolver
: isso exigiria
, impossível. Então não há pontos críticos.
Passo 4
Agora vamos estudar os limites nas extremidades para saber se existem máximos ou mínimos assintóticos (infimum/supremum):
Calculamos
Como
é contínua, podemos passar o limite para dentro:
Do outro lado,
e sabemos que
Portanto
Passo 5
Conclusões finais interpretando os limites junto com a monotonicidade:
Isto mostra que
é o ínfimo (valor mínimo limite) de
e
é o supremo (valor máximo limite) de
, mas nenhum desses valores é atingido por um
finito.
Resposta
Não existem máximos nem mínimos para
em
.
(não atingido) e
(não atingido).