Questão 5(\mathbf{3 , 0}) : Uma empresa de engenharia naval confecciona o casco para um navio cargueiro com o formato abaixo.
Um bom modelo para esse projeto é a reunião de duas peças, sendo \mathcal{S}_{1} o cilindro parabólico z=x^{2},-5 \leq y \leq 0, z \leq 4, unido por \mathcal{S}_{2}, que é o semiparaboloide z=x^{2}+y^{2}, y \geq 0, z \leq 4. Os números estão em uma escala adequada ao projeto.
(a) A fim de mensurar o material gasto para a confecção, formule as integrais que fornecem a área do casco e calcule apenas a área da peça \mathcal{S}_{2};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) formular as integrais que dão a área do casco (ou seja, das duas peças \mathcal{S}_{1} e \mathcal{S}_{2}) e (ii) calcular apenas a área da peça \mathcal{S}_{2}.
Informações dadas e limites:
  • \mathcal{S}_{1} é o cilindro parabólico dado por \,z=x^{2},\;-5\le y\le 0,\; z\le 4. A condição z\le 4 implica x^{2}\le 4, logo x\in[-2,2]. Assim a projeção de \mathcal{S}_{1} no plano xy é o retângulo \{(x,y):-2\le x\le 2,\,-5\le y\le 0\}.
  • \mathcal{S}_{2} é o semiparaboloide dado por \,z=x^{2}+y^{2},\;y\ge 0,\; z\le 4. A condição z\le4 implica x^{2}+y^{2}\le 4, e com y\ge 0 isso é o semi-disco de raio 2: \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 4,\;y\ge0\}.
Resumo do que vou entregar:
  • As integrais duplas que representam a área de \mathcal{S}_{1} e de \mathcal{S}_{2} (portanto a área total será soma delas).
  • Cálculo passo a passo da área de \mathcal{S}_{2} (com explicação didática das técnicas usadas).

Passo 2

Fórmula que usamos para área de superfície: seja uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) sobre uma região R do plano xy. A área da superfície é
A=\iint_{R}\sqrt{1+f_x(x,y)^{2}+f_y(x,y)^{2}}\;dA.
Explicação da fórmula (passo a passo e sem mistério):
  • f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Elas medem a inclinação da superfície nas direções x e y.
  • A quantidade \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}} aparece porque, ao aproximar localmente a superfície por um plano tangente, a área de um pequeno pedaço da superfície relaciona-se com a área da projeção no plano xy multiplicada por esse fator.
  • dA é o elemento de área no plano xy (em coordenadas cartesianas dA=dx\,dy; em polares dA=r\,dr\,d\theta).
Vou aplicar essa fórmula separadamente a \mathcal{S}_{1} e \mathcal{S}_{2}.

Passo 3

Aplicação da fórmula a \mathcal{S}_{1} e \mathcal{S}_{2}.
Para \mathcal{S}_{1}: f(x,y)=x^{2}. Calculamos f_x=2x e f_y=0. A projeção R_{1} é o retângulo \{(x,y):-2\le x\le 2,\,-5\le y\le 0\}. Logo a integral que dá a área de \mathcal{S}_{1} é
\boxed{\,A(\mathcal{S}_{1})=\int_{y=-5}^{0}\int_{x=-2}^{2}\sqrt{1+(2x)^{2}+0^{2}}\;dx\,dy =\int_{-5}^{0}\int_{-2}^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\;dx\,dy.\,}
(Observação útil para prova: essa integral pode ser simplificada calculando primeiro a integral em x e multiplicando pelo comprimento em y, já que a integranda não depende de y.)
Para \mathcal{S}_{2}: f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Calculamos f_x=2x e f_y=2y. A projeção R_{2} é o semi-disco \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 4,\;0\le\theta\le\pi\}. A integral que dá a área de \mathcal{S}_{2} é
\boxed{\,A(\mathcal{S}_{2})=\iint_{R_{2}}\sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}\;dA =\iint_{R_{2}}\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA.\,}
Portanto a área total do casco seria A(\mathcal{S}_{1})+A(\mathcal{S}_{2}). A seguir eu calculo \,A(\mathcal{S}_{2}) explicitamente.

Passo 4

Cálculo de A(\mathcal{S}_{2}). Motivação para escolher coordenadas polares:
  • A integranda \sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}} depende só em x^{2}+y^{2}, ou seja, só em r^{2} se trocarmos para polares. Além disso, a região R_{2} é um semi-disco de raio 2. Assim coordenadas polares tornam a integral radial (mais simples).
Troca para polares: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta. Como R_{2} é o semi-disco de raio 2 com y\ge0, os limites são r\in[0,2] e \theta\in[0,\pi]. A integranda vira \sqrt{1+4r^{2}}. Logo
A(\mathcal{S}_{2})=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Agora faremos a integral em r. Vamos explicar a técnica de substituição passo a passo:
  • Tome u=1+4r^{2}. Então du=8r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{8}.
  • Quando r=0 temos u=1. Quando r=2 temos u=1+4\cdot 4=17.
Substituindo:
\int_{r=0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr =\int_{u=1}^{17}\sqrt{u}\;\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int_{1}^{17}u^{1/2}\,du.
Integrando u^{1/2}: \displaystyle\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}. Então
\int_{r=0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigg[u^{3/2}\bigg]_{1}^{17} =\frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1^{3/2}\big) =\frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1\big).
Agora voltamos à integral em \theta. Como o resultado acima não depende de \theta,
A(\mathcal{S}_{2})=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1\big)\right)\,d\theta =\frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1\big)\cdot\pi.
Podemos reescrever 17^{3/2} como 17\sqrt{17} se preferir. Esse é o valor exato da área de \mathcal{S}_{2}. (Se quiser uma aproximação numérica rápida: \sqrt{17}\approx 4,1231 e 17\sqrt{17}\approx 70,093, daí a área aproximada é \pi/12\cdot(70,093-1)\approx \pi/12\cdot69,093\approx 18,100.)

Resposta

A(\mathcal{S}_{1})=\displaystyle\int_{y=-5}^{0}\int_{x=-2}^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\;dx\,dy.
A(\mathcal{S}_{2})=\displaystyle\iint_{R_{2}}\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta =\dfrac{\pi}{12}\big(17^{3/2}-1\big).

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