Questão
: Uma empresa de engenharia naval confecciona o casco para um navio cargueiro com o formato abaixo.
Um bom modelo para esse projeto é a reunião de duas peças, sendo
o cilindro parabólico
, unido por
, que é o semiparaboloide
,
. Os números estão em uma escala adequada ao projeto.
(a) A fim de mensurar o material gasto para a confecção, formule as integrais que fornecem a área do casco e calcule apenas a área da peça
;
(a) A fim de mensurar o material gasto para a confecção, formule as integrais que fornecem a área do casco e calcule apenas a área da peça
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) formular as integrais que dão a área do casco (ou seja, das duas peças
e
) e (ii) calcular apenas a área da peça
.
Informações dadas e limites:
-
é o cilindro parabólico dado por A condição implica , logo . Assim a projeção de no plano é o retângulo -
é o semiparaboloide dado por A condição implica , e com isso é o semi-disco de raio :
Resumo do que vou entregar:
- As integrais duplas que representam a área de
e de (portanto a área total será soma delas). - Cálculo passo a passo da área de
(com explicação didática das técnicas usadas).
Passo 2
Fórmula que usamos para área de superfície: seja uma superfície dada como gráfico
sobre uma região
do plano
. A área da superfície é
Explicação da fórmula (passo a passo e sem mistério):
-
e são as derivadas parciais de em relação a e . Elas medem a inclinação da superfície nas direções e . - A quantidade
aparece porque, ao aproximar localmente a superfície por um plano tangente, a área de um pequeno pedaço da superfície relaciona-se com a área da projeção no plano multiplicada por esse fator. -
é o elemento de área no plano (em coordenadas cartesianas ; em polares ).
Vou aplicar essa fórmula separadamente a
e
.
Passo 3
Aplicação da fórmula a
e
.
Para
:
. Calculamos
e
. A projeção
é o retângulo
. Logo a integral que dá a área de
é
(Observação útil para prova: essa integral pode ser simplificada calculando primeiro a integral em
e multiplicando pelo comprimento em
, já que a integranda não depende de
.)
Para
:
. Calculamos
e
. A projeção
é o semi-disco
. A integral que dá a área de
é
Portanto a área total do casco seria
. A seguir eu calculo
explicitamente.
Passo 4
Cálculo de
. Motivação para escolher coordenadas polares:
- A integranda
depende só em , ou seja, só em se trocarmos para polares. Além disso, a região é um semi-disco de raio . Assim coordenadas polares tornam a integral radial (mais simples).
Troca para polares:
Como
é o semi-disco de raio
com
, os limites são
e
. A integranda vira
. Logo
Agora faremos a integral em
. Vamos explicar a técnica de substituição passo a passo:
- Tome
. Então , ou seja . - Quando
temos . Quando temos .
Substituindo:
Integrando
:
. Então
Agora voltamos à integral em
. Como o resultado acima não depende de
,
Podemos reescrever
como
se preferir. Esse é o valor exato da área de
. (Se quiser uma aproximação numérica rápida:
e
, daí a área aproximada é
.)