Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
; círculo
Passo 1
O problema pede para encontrar os extremos da função
sujeitos à curva
. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, ou seja, vamos usar que em pontos de máximo ou mínimo sujeito a uma restrição
, o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
.
Passo 2
Definimos a restrição
e calculamos os gradientes:
O método de Lagrange gera o sistema
Passo 3
Primeiro caso: suponha
. Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Da restrição
obtemos
, ou seja
. Portanto, dois pontos críticos:
Passo 4
Segundo caso: suponha
. Então da restrição vem
, ou seja
ou
. Isso gera mais dois pontos:
Passo 5
Agora avaliamos
em cada ponto crítico:
Passo 6
Comparando os valores, vemos que o maior é
e o menor é
.
Resposta
Máximos de
na curva: valor
nos pontos
e
. Mínimo de
na curva: valor
no ponto
.