Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=x^2-y^2+4 y; círculo x^2+y^2=4

Passo 1

O problema pede para encontrar os extremos da função f(x,y)=x^2 - y^2 + 4y sujeitos à curva x^2 + y^2 = 4. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, ou seja, vamos usar que em pontos de máximo ou mínimo sujeito a uma restrição g(x,y)=0, o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g.

Passo 2

Definimos a restrição g(x,y)=x^2+y^2-4 e calculamos os gradientes:
nabla f = (2x,,-2y+4), nabla g = (2x,,2y)
O método de Lagrange gera o sistema
2x = lambda,2x, -2y+4 = lambda,2y, x^2+y^2=4

Passo 3

Primeiro caso: suponha xneq0. Da primeira equação vem lambda=1. Substituindo na segunda:
-2y+4 = 2y implies 4y = 4 implies y = 1
Da restrição x^2+1^2=4 obtemos x^2=3, ou seja x=pmraiz3. Portanto, dois pontos críticos:
(raiz3,1)e(-raiz3,1)

Passo 4

Segundo caso: suponha x=0. Então da restrição vem y^2=4, ou seja y=2 ou y=-2. Isso gera mais dois pontos:
(0,2)e(0,-2)

Passo 5

Agora avaliamos f em cada ponto crítico:
f(raiz3,1)=3-1+4=6, f(-raiz3,1)=6,
f(0,2)=0-4+8=4, f(0,-2)=0-4-8=-12

Passo 6

Comparando os valores, vemos que o maior é 6 e o menor é -12.

Resposta

Máximos de f na curva: valor 6 nos pontos (raiz3,1) e (-raiz3,1). Mínimo de f na curva: valor -12 no ponto (0,-2).

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