Use a derivação implícita para encontrar o ponto sobre a parábola varepsilon : y^2-2 x-4 y-1=0 cuja equação da reta tangente é paralela à reta y=-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da parábola $ y^{2} - 2x - 4y - 1 = 0 $ e queremos encontrar um ponto nessa parábola onde a reta tangente é paralela à reta $ y = -x $. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando $ y $ está misturado com $ x $ na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação da parábola. Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é uma função de $ x $. Então, derivando termo a termo:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
  • Para $ y^{2} $, usamos a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} $
  • Para $ 2x $, a derivada é simplesmente $ 2 $
  • Para $ 4y $, também usamos a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(4y) = 4 \cdot \frac{dy}{dx} $
  • A derivada de uma constante, como $ 1 $, é $ 0 $
Substituindo na equação:
y^2

Passo 4

Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
2y cdot dydx - 4 cdot dydx = 2
Agora, dividimos ambos os lados por $ (2y - 4) $:
dydx

Passo 5

Sabemos que a reta $ y = -x $ tem coeficiente angular $ m = -1 $. Como a reta tangente deve ser paralela a essa, sua derivada também deve ser igual a $ -1 $:
y = -x
Resolvendo para $ y $:
m = -1
Agora que temos $ y = 1 $, substituímos de volta na equação original da parábola para encontrar $ x $:
-1

Resposta

O ponto na parábola $ y^{2} - 2x - 4y - 1 = 0 $ onde a reta tangente é paralela à reta $ y = -x $ é $ (-2,\ 1) $.

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