Use a derivação implícita para encontrar o ponto sobre a parábola
:
cuja equação da reta tangente é paralela à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da parábola $ y^{2} - 2x - 4y - 1 = 0 $ e queremos encontrar um ponto nessa parábola onde a reta tangente é paralela à reta $ y = -x $. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando $ y $ está misturado com $ x $ na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação da parábola. Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é uma função de $ x $. Então, derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
- Para $ y^{2} $, usamos a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} $
- Para $ 2x $, a derivada é simplesmente $ 2 $
- Para $ 4y $, também usamos a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(4y) = 4 \cdot \frac{dy}{dx} $
- A derivada de uma constante, como $ 1 $, é $ 0 $
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
Agora, dividimos ambos os lados por $ (2y - 4) $:
Passo 5
Sabemos que a reta $ y = -x $ tem coeficiente angular $ m = -1 $. Como a reta tangente deve ser paralela a essa, sua derivada também deve ser igual a $ -1 $:
Resolvendo para $ y $:
Agora que temos $ y = 1 $, substituímos de volta na equação original da parábola para encontrar $ x $:
Resposta
O ponto na parábola $ y^{2} - 2x - 4y - 1 = 0 $ onde a reta tangente é paralela à reta $ y = -x $ é $ (-2,\ 1) $.