Determine os máximos e mínimos das funções:
, no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Precisa-se identificar onde ocorrem os pontos de máximo e mínimo (valores de
e os valores de ) dentro desse intervalo.
Passo 2
O plano geral para resolver esse tipo de problema (numa linguagem bem prática para a prova):
- Em um intervalo fechado, os candidatos a extremos absolutos (máximo ou mínimo) são:
- Pontos críticos internos onde a derivada
é zero ou não existe. - Os extremos do intervalo (aqui
e ).
- Pontos críticos internos onde a derivada
- Então vamos:
a) calcular;
b) resolverpara achar os pontos críticos dentro de ;
c) avaliarnesses pontos críticos e também em e ;
d) comparar os valores para decidir máximos e mínimos.
Passo 3
Calcular a derivada
e entender o que ela significa:
- A derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente ali; extremos internos normalmente aparecem quando a inclinação passa por zero (reta tangente horizontal).
- Regra que usamos: a derivada de
é . Portanto
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
:
As soluções de
são
para inteiro
. No intervalo
isso dá os pontos
Esses são os pontos críticos internos/na borda que precisamos avaliar (observação:
e
são também os extremos do intervalo).
Passo 5
Usar a segunda derivada para classificar cada ponto crítico (teste da segunda derivada):
- Calcular a segunda derivada:
- Regra do teste: se
então é mínimo local; se então é máximo local. (Se for zero, o teste é inconclusivo.) - Avaliar em cada ponto crítico:
- Em
: → máximo local. - Em
: → mínimo local. - Em
: → máximo local.
- Em
Passo 6
Avaliar a função
nos pontos relevantes para decidir os extremos absolutos:
-
. -
. -
.
Comparando os valores:
- O maior valor obtido é
, em e . - O menor valor obtido é
, em .
Passo 7
Conclusões e observações finais (dicas para a prova):
- Em intervalos fechados sempre lembrar de verificar os pontos críticos e as bordas.
- Aqui os pontos críticos coincidem com as bordas em
e , e o teste da segunda derivada classificou corretamente os extremos. - Resumindo: máximos absolutos em
e com valor ; mínimo absoluto em com valor .
Resposta
Máximos:
e
Mínimo:
Mínimo: