Determine os máximos e mínimos das funções:
f(x)=x^{3}-6 x

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}-6x\, e pede para determinar os máximos e mínimos. Ou seja:
  • Encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
  • Classificar cada ponto crítico como máximo local ou mínimo local (e dizer os valores de f nesses pontos).
  • Informar se algum desses é máximo absoluto (global) ou mínimo absoluto.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=x^{3}-6x, polinomial (definida para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

O primeiro passo prático é calcular a derivada de \,f, porque os extremos locais ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a derivada existe sempre (polinômio), então procuramos onde \,f'(x)=0.
Regra usada (aula rápida): a regra do potência diz que a derivada de \,x^{n} é \,n x^{n-1}. Se há um coeficiente constante, ele sai multiplicando. Para uma soma, derivada é soma das derivadas.
Aplicando:
f(x)=x^{3}-6x
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(6x\bigr)=3x^{2}-6.
Podemos fatorar:
f'(x)=3(x^{2}-2).

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo \,f'(x)=0.
3(x^{2}-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-2=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2.
Tirando raiz:
x=\pm\sqrt{2}.
Portanto os pontos críticos são x=-\sqrt{2} e x=+\sqrt{2}.

Passo 4

Agora vamos classificar esses pontos com o teste da segunda derivada. O teste diz:
  • Se \,f''(x_0)>0, então x_0 é ponto de mínimo local.
  • Se \,f''(x_0)<0, então x_0 é ponto de máximo local.
  • Se \,f''(x_0)=0, o teste é inconclusivo.
Calcule a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6\bigr)=6x.
Avalia em cada ponto crítico:
Para x=+\sqrt{2}:
f''(\sqrt{2})=6\sqrt{2}>0,
logo x=\sqrt{2} é ponto de mínimo local.
Para x=-\sqrt{2}:
f''(-\sqrt{2})=6(-\sqrt{2})=-6\sqrt{2}<0,
logo x=-\sqrt{2} é ponto de máximo local.

Passo 5

Calcular os valores da função nesses pontos (para dar os valores máximos/minimos locais).
Para x=\sqrt{2}:
f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{3}-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}.
Para x=-\sqrt{2}:
f(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^{3}-6(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Portanto o máximo local vale 4\sqrt{2} em x=-\sqrt{2} e o mínimo local vale -4\sqrt{2} em x=\sqrt{2}.

Passo 6

Verificação do comportamento global: como \,f(x)=x^{3}-6x é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, tem comportamento
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.
Logo a função é não limitada acima nem limitada abaixo; portanto não existem máximo absoluto nem mínimo absoluto — apenas os extremos locais já encontrados.
Também pode-se ver o sinal de f'(x)=3(x^{2}-2): é positivo para |x|>\sqrt{2} (função crescente), negativo para |x|<\sqrt{2} (função decrescente), o que confirma que em -\sqrt{2} ocorre uma subida seguida por descida (máximo local) e em +\sqrt{2} descida seguida por subida (mínimo local).

Resposta

Máximo local: \,f(-\sqrt{2})=4\sqrt{2} em x=-\sqrt{2}.\n
Mínimo local: \,f(\sqrt{2})=-4\sqrt{2} em x=\sqrt{2}.\n
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto (a função é não limitada).

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