Determine os máximos e mínimos das funções:
f(x)=\cos x, no intervalo [0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função f(x)=\cos x no intervalo fechado [0,2\pi].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos x.
  • O intervalo considerado é [0,2\pi].
  • Precisa-se identificar onde ocorrem os pontos de máximo e mínimo (valores de x e os valores de f(x)) dentro desse intervalo.

Passo 2

O plano geral para resolver esse tipo de problema (numa linguagem bem prática para a prova):
  • Em um intervalo fechado, os candidatos a extremos absolutos (máximo ou mínimo) são:
    1. Pontos críticos internos onde a derivada f'(x) é zero ou não existe.
    2. Os extremos do intervalo (aqui x=0 e x=2\pi).
  • Então vamos:
    a) calcular f'(x);
    b) resolver f'(x)=0 para achar os pontos críticos dentro de [0,2\pi];
    c) avaliar f nesses pontos críticos e também em x=0 e x=2\pi;
    d) comparar os valores para decidir máximos e mínimos.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) e entender o que ela significa:
  • A derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente ali; extremos internos normalmente aparecem quando a inclinação passa por zero (reta tangente horizontal).
  • Regra que usamos: a derivada de \cos x é -\sin x. Portanto
f'(x) = -\sin x.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
-\sin x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x = 0.
As soluções de \sin x=0 são x = k\pi para inteiro k. No intervalo [0,2\pi] isso dá os pontos
x=0,\quad x=\pi,\quad x=2\pi.
Esses são os pontos críticos internos/na borda que precisamos avaliar (observação: 0 e 2\pi são também os extremos do intervalo).

Passo 5

Usar a segunda derivada para classificar cada ponto crítico (teste da segunda derivada):
  • Calcular a segunda derivada:
f''(x) = \frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x.
  • Regra do teste: se f''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local; se f''(x_0)<0 então x_0 é máximo local. (Se for zero, o teste é inconclusivo.)
  • Avaliar em cada ponto crítico:
    • Em x=0: f''(0) = -\cos 0 = -1 < 0 → máximo local.
    • Em x=\pi: f''(\pi) = -\cos \pi = -(-1) = 1 > 0 → mínimo local.
    • Em x=2\pi: f''(2\pi) = -\cos 2\pi = -1 < 0 → máximo local.

Passo 6

Avaliar a função f(x)=\cos x nos pontos relevantes para decidir os extremos absolutos:
  • f(0)=\cos 0 = 1.
  • f(\pi)=\cos \pi = -1.
  • f(2\pi)=\cos 2\pi = 1.
Comparando os valores:
  • O maior valor obtido é 1, em x=0 e x=2\pi.
  • O menor valor obtido é -1, em x=\pi.

Passo 7

Conclusões e observações finais (dicas para a prova):
  • Em intervalos fechados sempre lembrar de verificar os pontos críticos e as bordas.
  • Aqui os pontos críticos coincidem com as bordas em 0 e 2\pi, e o teste da segunda derivada classificou corretamente os extremos.
  • Resumindo: máximos absolutos em x=0 e x=2\pi com valor 1; mínimo absoluto em x=\pi com valor -1.

Resposta

Máximos: (0,\,1) e (2\pi,\,1)
Mínimo: (\pi,\,-1)

Exercícios relacionados