Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
f(x)=xx^2+1 ; x in(-infty,+infty)

Passo 1

A questão quer que a gente encontre os máximos e mínimos locais e absolutos da função f(x)=xx^2+1 em todo R. O conteúdo aqui é derivadas para achar pontos críticos, usar o teste da primeira derivada e comparar com limites no infinito.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada usando a regra do quociente. Primeiro, em bloco, a derivada:
f'(x)=(x^2+1)cdot1 - xcdot2x(x^2+1)^2=x^2+1-2x^2(x^2+1)^2=1-x^2(x^2+1)^2

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja, de 1-x^2=0. Logo x=pm1. Além disso, o denominador (x^2+1)^2 nunca zera, então não há outros pontos críticos.

Passo 4

Agora, estudamos o sinal de f'(x):
  • Para x<-1, temos 1-x^2<0, então f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para -1, temos 1-x^2>0, logo f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>1, volta a ter 1-x^2<0, isto é, f'(x)<0 (decrescente).
    Com isso, em x=-1 a função muda de decrescente para crescente (mínimo local) e em x=1 muda de crescente para decrescente (máximo local).

Passo 5

Para decidir se são extremos absolutos, comparamos com os limites em infinito:
limxtopminftyf(x)=limxtopminftyxx^2+1=0
Como f(-1)=-tfrac12<0 fica abaixo de 0 e f(1)=+tfrac12>0 fica acima de 0, concluímos que esses são também mínimo e máximo absolutos, respectivamente.

Resposta

Mínimo local e absoluto em x=-1, com f(-1)=-tfrac12. Máximo local e absoluto em x=1, com f(1)=tfrac12.

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