Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
Passo 1
A questão quer que a gente encontre os máximos e mínimos locais e absolutos da função
em todo
. O conteúdo aqui é derivadas para achar pontos críticos, usar o teste da primeira derivada e comparar com limites no infinito.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada usando a regra do quociente. Primeiro, em bloco, a derivada:
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
, ou seja, de
. Logo
. Além disso, o denominador
nunca zera, então não há outros pontos críticos.
Passo 4
Agora, estudamos o sinal de
:
- Para
, temos , então (função decrescente). - Para
, temos , logo (função crescente). - Para
, volta a ter , isto é, (decrescente).
Com isso, ema função muda de decrescente para crescente (mínimo local) e em muda de crescente para decrescente (máximo local).
Passo 5
Para decidir se são extremos absolutos, comparamos com os limites em infinito:
Como fica abaixo de 0 e
fica acima de 0, concluímos que esses são também mínimo e máximo absolutos, respectivamente.
Como
Resposta
Mínimo local e absoluto em
, com
. Máximo local e absoluto em
, com
.