Passo 1
Beleza, vamos resolver o integral
. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais que envolvem funções racionais com polinômios no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender como lidar com integrais de potências de polinômios quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o denominador é
. Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição trigonométrica, já que
se assemelha à identidade trigonométrica
. Mas antes de avançar, vamos tentar uma substituição mais simples.
Passo 3
Vamos deixar
. Isso parece simples, mas na verdade, precisamos de uma substituição que simplifique a expressão. Em vez disso, consideremos uma substituição que envolva o denominador. Vamos tentar
. Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
No entanto, percebemos que ainda temos um
no denominador, o que complica a integração. Então essa substituição não simplifica bastante. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula da integração por partes é:
Para aplicar isso, precisamos identificar partes da nossa integral que correspondem a
e
. Vamos escolher:
Então, precisamos encontrar
e
. Calculando:
Agora, percebemos que ainda precisamos calcular
, que é a nossa integral original. Isso indica que talvez a integração por partes não seja a melhor abordagem direta aqui. Vamos tentar outra técnica.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais envolvendo
, uma substituição útil é
, já que
. Então, vamos definir:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
. Podemos usar a identidade de potência para reduzir a potência:
Então, a integral torna-se:
Para integrar
, usamos outra identidade:
Então:
Integrando cada termo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Também, usando identidades trigonométricas:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 8
Podemos combinar os termos para apresentar a resposta de forma mais organizada:
Resposta
A integral é igual a: