integral d x(x^2+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral integral dx(x^2+1)^3. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais que envolvem funções racionais com polinômios no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender como lidar com integrais de potências de polinômios quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o denominador é (x^2 + 1)^3. Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição trigonométrica, já que x^2 + 1 se assemelha à identidade trigonométrica 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta). Mas antes de avançar, vamos tentar uma substituição mais simples.

Passo 3

Vamos deixar u = x. Isso parece simples, mas na verdade, precisamos de uma substituição que simplifique a expressão. Em vez disso, consideremos uma substituição que envolva o denominador. Vamos tentar u = x^2 + 1. Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow dx = du2x
No entanto, percebemos que ainda temos um x no denominador, o que complica a integração. Então essa substituição não simplifica bastante. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para aplicar isso, precisamos identificar partes da nossa integral que correspondem a u e dv. Vamos escolher:
u = x dv = dx(x^2 +1)^3
Então, precisamos encontrar du e v. Calculando:
du = dx v = integral dx(x^2 +1)^3
Agora, percebemos que ainda precisamos calcular v, que é a nossa integral original. Isso indica que talvez a integração por partes não seja a melhor abordagem direta aqui. Vamos tentar outra técnica.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais envolvendo x^2 + a^2, uma substituição útil é x = tan(theta), já que 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta). Então, vamos definir:
x = tan(theta) dx = sec^2(theta) , dtheta
Substituindo na integral:
integral dx(x^2 +1)^3 = integral sec^2(theta) , dtheta(tan^2(theta) +1)^3 = integral sec^2(theta) , dthetasec^6(theta) = integral cos^4(theta) , dtheta

Passo 6

Agora, precisamos integrar cos^4(theta). Podemos usar a identidade de potência para reduzir a potência:
cos^4(theta) = (cos^2(theta))^2 = (1 + cos(2theta)2)^2 = 1 + 2cos(2theta) + cos^2(2theta)4
Então, a integral torna-se:
integral cos^4(theta) , dtheta = 14 integral (1 + 2cos(2theta) + cos^2(2theta)) dtheta
Para integrar cos^2(2theta), usamos outra identidade:
cos^2(2theta) = 1 + cos(4theta)2
Então:
14 integral (1 + 2cos(2theta) + 1 + cos(4theta)2) dtheta = 14 (integral 1 , dtheta + 2 integral cos(2theta) , dtheta + 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos(4theta) , dtheta)
Integrando cada termo:
14 (theta + sin(2theta) + 12theta + 18sin(4theta)) + C
Simplificando:
14 (32theta + sin(2theta) + 18sin(4theta)) + C = 38theta + 14sin(2theta) + 132sin(4theta) + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = tan(theta), então:
theta = arctan(x)
Também, usando identidades trigonométricas:
sin(2theta) = 2xx^2 +1 sin(4theta) = 4x(1 - x^2)(x^2 +1)^2
Substituindo de volta:
38arctan(x) + 14 cdot 2xx^2 +1 + 132 cdot 4x(1 - x^2)(x^2 +1)^2 + C
Simplificando:
38arctan(x) + x2(x^2 +1) + x(1 - x^2)8(x^2 +1)^2 + C

Passo 8

Podemos combinar os termos para apresentar a resposta de forma mais organizada:
integral dx(x^2+1)^3 = 38arctan(x) + x2(x^2 +1) + x(1 - x^2)8(x^2 +1)^2 + C

Resposta

A integral é igual a:
integral dx(x^2+1)^3 = 38arctan(x) + x2(x^2 +1) + x(1 - x^2)8(x^2 +1)^2 + C

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