Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
f(x)=3 x-x^3 ; x in(-raiz3, 32]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os máximos e mínimos locais e absolutos da função $ f(x) = 3x - x^{3} $ no intervalo $ x \in \left(-\sqrt{3}, \frac{3}{2}\right] $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar pontos onde a função atinge seus picos e vales.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for zero, podemos ter um ponto de máximo ou mínimo.
f(x)

Passo 3

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
3 - 3x^2 = 0
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = pm 1
Então, temos dois pontos críticos em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 4

Vamos analisar a concavidade da função nesses pontos usando a segunda derivada. A segunda derivada nos ajuda a determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
f''(x) = ddx(3 - 3x^2) = -6x
Agora, avaliamos $ f’’(x) $ em $ x = 1 $ e $ x = -1 $:
  • Para $ x = 1 $:
    f''(x)
    Como $ f’’(1) < 0 $, temos um máximo local em $ x = 1 $.
  • Para $ x = -1 $:
    x = 1
    Como $ f’’(-1) > 0 $, temos um mínimo local em $ x = -1 $.

Passo 5

Agora, vamos verificar os valores nos extremos do intervalo para determinar se há máximos ou mínimos absolutos.
Os extremos do intervalo são $ x = -\sqrt{3} $ e $ x = \frac{3}{2} $.
Calculamos $ f(x) $ nesses pontos:
  • Para $ x = -\sqrt{3} $:
    x = -raiz3
  • Para $ x = \frac{3}{2} $:
    x = 32

Passo 6

Vamos comparar os valores de $ f(x) $ nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
  • $ f(1) = 3(1) - (1)^{3} = 3 - 1 = 2 $
  • $ f(-1) = 3(-1) - (-1)^{3} = -3 - (-1) = -2 $
  • $ f(-\sqrt{3}) = 0 $
  • $ f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{8} $

Passo 7

Analisando os valores:
  • O maior valor é $ 2 $ em $ x = 1 $, então é o máximo absoluto.
  • O menor valor é $ -2 $ em $ x = -1 $, então é o mínimo absoluto.

Resposta

A função $ f(x) = 3x - x^{3} $ possui um máximo local e absoluto em $ x = 1 $ com valor $ f(1) = 2 $ e um mínimo local e absoluto em $ x = -1 $ com valor $ f(-1) = -2 $.

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