Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
f(x)=x^3-2 x+1 ; x in(-infty,+infty)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Queremos encontrar os máximos e mínimos locais e absolutos da função $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $, onde $ x $ pode ser qualquer número real. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar esses pontos importantes na função.

Passo 2

Para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos calcular a derivada primeira da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Então, os pontos críticos são $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $ e $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $.

Passo 4

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a derivada segunda, que nos ajuda a saber a concavidade da função nesses pontos.
Calculando a derivada segunda de $ f(x) $:
f(x)

Passo 5

Vamos avaliar a derivada segunda nos pontos críticos:
  • Para $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $:
x = raiz63
Como $ f’’(x) > 0 $, isso indica que a função está côncava para cima, então temos um mínimo local.
  • Para $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $:
f''(raiz63) = 6 times raiz63 = 2raiz6 > 0
Como $ f’’(x) < 0 $, isso indica que a função está côncava para baixo, então temos um máximo local.

Passo 6

Agora, vamos verificar se existem máximos ou mínimos absolutos. Observando o comportamento da função para $ x $ tendendo ao infinito:
  • Quando $ x \to +\infty $, $ f(x) \to +\infty $
  • Quando $ x \to -\infty $, $ f(x) \to -\infty $
Isso significa que a função não tem limites superiores ou inferiores, ou seja, não possui máximos ou mínimos absolutos.

Resposta

A função $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $ possui:
  • Máximo local em $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $
  • Mínimo local em $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $
Não há máximos ou mínimos absolutos.

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