Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Queremos encontrar os máximos e mínimos locais e absolutos da função $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $, onde $ x $ pode ser qualquer número real. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar esses pontos importantes na função.
Passo 2
Para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos calcular a derivada primeira da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Então, os pontos críticos são $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $ e $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $.
Passo 4
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a derivada segunda, que nos ajuda a saber a concavidade da função nesses pontos.
Calculando a derivada segunda de $ f(x) $:
Passo 5
Vamos avaliar a derivada segunda nos pontos críticos:
- Para $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $:
Como $ f’’(x) > 0 $, isso indica que a função está côncava para cima, então temos um mínimo local.
- Para $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $:
Como $ f’’(x) < 0 $, isso indica que a função está côncava para baixo, então temos um máximo local.
Passo 6
Agora, vamos verificar se existem máximos ou mínimos absolutos. Observando o comportamento da função para $ x $ tendendo ao infinito:
- Quando $ x \to +\infty $, $ f(x) \to +\infty $
- Quando $ x \to -\infty $, $ f(x) \to -\infty $
Isso significa que a função não tem limites superiores ou inferiores, ou seja, não possui máximos ou mínimos absolutos.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} - 2x + 1 $ possui:
- Máximo local em $ x = -\frac{\sqrt{6}}{3} $
- Mínimo local em $ x = \frac{\sqrt{6}}{3} $
Não há máximos ou mínimos absolutos.