1-2. Mostre que a série converge confirmando que satisfaz a hipótese do teste da série alternada.
2. sumk=1^+infty(-1)^k+1 k3^k

Passo 1

Temos a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1k3^k. O conteúdo aqui é o teste da série alternada (ou teste de Leibniz) para convergência e também soma de séries de potências. Vamos primeiro verificar se os termos satisfazem as hipóteses do teste (positividade, monotonia decrescente e limite zero) e depois calcular o valor da soma usando uma fórmula conhecida para sumk=1^infty kx^k.

Passo 2

Definimos bk=k3^k. Note que bk>0 para todo k. Para mostrar que (bk) é decrescente, calculamos a razão
bk+1bk = (k+1)/3^k+1k/3^k = k+13k = 13 + 13k < 1,
pois para k>=1 vale tfrack+13k<=1. Logo bk+1<= bk. Além disso,
limktoinftybk = limktoinftyk3^k = 0,
pois a exponencial domina o polinômio. Pelo teste de Leibniz, a série converge.

Passo 3

Para calcular a soma, usamos a série de potências
sumk=1^infty kx^k = x(1-x)^2,
válida para |x|<1. No nosso caso,
S = sumk=1^infty(-1)^k+1k3^k
Observando que (-1)^k+1/3^k = -(-tfrac13)^k, temos
S = -sumk=1^infty kl(-tfrac13r)^k
Aplicando a fórmula com x=-tfrac13 resulta em
S = --tfrac13(1-(-tfrac13))^2 = 316

Resposta

tfrac316

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