1-2. Mostre que a série converge confirmando que satisfaz a hipótese do teste da série alternada.
2.
2.
Passo 1
Temos a série alternada
. O conteúdo aqui é o teste da série alternada (ou teste de Leibniz) para convergência e também soma de séries de potências. Vamos primeiro verificar se os termos satisfazem as hipóteses do teste (positividade, monotonia decrescente e limite zero) e depois calcular o valor da soma usando uma fórmula conhecida para
.
Passo 2
Definimos
. Note que
para todo
. Para mostrar que
é decrescente, calculamos a razão
pois para
vale
. Logo
. Além disso,
pois a exponencial domina o polinômio. Pelo teste de Leibniz, a série converge.
Passo 3
Para calcular a soma, usamos a série de potências
válida para
. No nosso caso,
Observando que
, temos
Aplicando a fórmula com
resulta em