Determine os máximos e mínimos locais da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
O método consiste em (i) achar os pontos críticos resolvendo
e (ii) classificar cada ponto usando o Hessiano, verificando o sinal do determinante e de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e montamos o sistema
:
As equações críticas são
Passo 3
Da segunda equação isolamos
:
Substituindo em
:
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano é
Passo 5
Avaliação em cada ponto:
-
Em
: Comoe , é mínimo local.
Podemos ainda calcular -
Em
: o que indica ponto de sela (não extremo).
Resposta
O único extremo local é um mínimo em
Não há máximos locais.