Determine os máximos e mínimos locais da função

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
f(x,y)=2x^3+2x^2-4xy+2y^2-9x+3y+1
O método consiste em (i) achar os pontos críticos resolvendo nabla f=0 e (ii) classificar cada ponto usando o Hessiano, verificando o sinal do determinante e de fxx.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e montamos o sistema nabla f=0:
fx = partial fpartial x = 6x^2 + 4x -4y -9, fy = partial fpartial y = -4x +4y +3
As equações críticas são
6x^2 +4x -4y -9 =0, -4x +4y +3 =0

Passo 3

Da segunda equação isolamos y:
-4x +4y +3=0 ;Longrightarrow; y = x - tfrac34
Substituindo em fx=0:
6x^2 +4x -4l(x - tfrac34r) -9 = 6x^2 +4x -4x +3 -9 =6x^2 -6 =0 ;Longrightarrow; x^2 =1 ;Longrightarrow; x=pm1
Logo os pontos críticos são
(1,tfrac14) e (-1,-tfrac74)

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
fxx = 12x+4, fyy = 4, fxy = fyx = -4
O determinante do Hessiano é
D(x,y) = fxxfyy - (fxy)^2 = (12x+4)cdot4 - (-4)^2 =48x +16 -16 =48x

Passo 5

Avaliação em cada ponto:
  • Em (1,tfrac14):
    D=48cdot1=48>0, fxx(1,tfrac14)=12cdot1+4=16>0
    Como D>0 e fxx>0, é mínimo local.
    Podemos ainda calcular
    f(1,tfrac14) =2(1)^3+2(1)^2-4cdot1cdottfrac14+2l(tfrac14r)^2-9cdot1+3cdottfrac14+1 =-tfrac338
  • Em (-1,-tfrac74):
    D=48cdot(-1)=-48<0,
    o que indica ponto de sela (não extremo).

Resposta

O único extremo local é um mínimo em
l(1,tfrac14r), f(1,tfrac14)=-tfrac338
Não há máximos locais.

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