- (9pts) Se existir calcule. Caso não existir, justifique.
Passo 1
O enunciado pede o limite
no sentido de duas variáveis. Para decidir se esse limite existe, vamos usar o método de aproximação por caminhos: escolhemos diferentes curvas que passam por
, calculamos o limite ao longo delas e comparamos os resultados.
Passo 2
Aproximação por retas
. Substituindo
na função, obtemos
Quando
, o denominador tende a
e o numerador tende a
, logo
Isso vale para qualquer
, portanto ao longo de todas as retas
o limite é
.
Passo 3
Aproximação por curva não linear que equilibra as ordens de
e
. Escolhemos
que passa por
. Substituindo:
Denominador:
Numerador:
Logo a razão vira
E quando
,
Passo 4
Comparando os dois caminhos:
- Pela reta
obtivemos limite . - Pela curva
obtivemos limite .
Como os resultados são diferentes, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.