• (9pts) Se existir calcule. Caso não existir, justifique.

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) 3xy2x+3y^3
no sentido de duas variáveis. Para decidir se esse limite existe, vamos usar o método de aproximação por caminhos: escolhemos diferentes curvas que passam por (0,0), calculamos o limite ao longo delas e comparamos os resultados.

Passo 2

Aproximação por retas y=mx. Substituindo y=mx na função, obtemos
3x,(m x)2x+3,(m x)^3 =3m,x^22x+3m^3x^3 =3m,x^2xl(2+3m^3x^2r) =3m,x2+3m^3x^2
Quando xto0, o denominador tende a 2 e o numerador tende a 0, logo
limxto03m,x2+3m^3x^2=0
Isso vale para qualquer m, portanto ao longo de todas as retas y=mx o limite é 0.

Passo 3

Aproximação por curva não linear que equilibra as ordens de x e y. Escolhemos
x=-32y^3 + y^4,
que passa por (0,0). Substituindo:
Denominador:
2x+3y^3 =2l(-tfrac32y^3+y^4r)+3y^3 =-3y^3+2y^4+3y^3 =2y^4
Numerador:
3x,y =3l(-tfrac32y^3+y^4r)y =-tfrac92y^4+3y^5
Logo a razão vira
3xy2x+3y^3 =-tfrac92y^4+3y^52y^4 =-tfrac92+3y2 =-94 + 32y
E quando yto0,
limyto0l(-tfrac94+tfrac32yr) =-tfrac94

Passo 4

Comparando os dois caminhos:
  • Pela reta y=mx obtivemos limite 0.
  • Pela curva x=-tfrac32y^3+y^4 obtivemos limite -tfrac94.
Como os resultados são diferentes, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados