Determine o MDC em mathbb{Q}[x] dos seguintes pares de polinômios :
(d) f=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1 e g=x^{3}+4 x^{2}+4 x+3

Passo 1

O enunciado pede: determinar o máximo divisor comum em \mathbb{Q}[x] dos polinômios
f = x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1
e
g = x^{3}+4x^{2}+4x+3.
Informações dadas: os dois polinômios com coeficientes racionais (aqui inteiros). Pergunta única: qual é \gcd(f,g) em \mathbb{Q}[x].

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (sem jargão pesado): em \mathbb{Q}[x] podemos aplicar o algoritmo de Euclides para polinômios — é o mesmo espírito do algoritmo para inteiros: dividir o polinômio de maior grau pelo de menor grau, pegar o resto, repetir até obter resto zero; o último resto não-nulo (normalizado, por conveniência, para ser monico) é o \gcd. Em \mathbb{Q}[x] multiplicar um polinômio por uma constante não nula não altera os divisores comuns, então podemos escalar restos para ficar com polinômios monicos e contas mais limpas.

Passo 3

Dividimos f por g. Primeiro quociente candidato é x porque lead(f)/lead(g)=x{4}/x{3}=x . Calculo:
x\cdot g = x^4+4x^3+4x^2+3x.
Subtraindo de f:
f - xg = (x^4+x^3+2x^2+x+1) - (x^4+4x^3+4x^2+3x) = -3x^3-2x^2-2x+1.
Como o resto ainda tem grau 3 (igual ao de g), continuamos a divisão: o próximo termo do quociente é -3 porque -3x^3/x^3=-3. Então o quociente parcial é x-3. Multiplicamos:
-3\cdot g = -3x^3-12x^2-12x-9.
Somando os efeitos (ou subtraindo (x-3)g de f) obtemos o resto final:
f - (x-3)g = 10x^2+10x+10.
Logo a divisão é
f = (x-3)g + 10(x^2+x+1).

Passo 4

Observação importante: o resto é 10(x^2+x+1). Em \mathbb{Q}[x] podemos dividir esse resto por 10 (constante não nula) sem alterar os divisores comuns, então tomamos como representante do resto o polinômio monico
r_1 = x^2+x+1.
Assim, pelo algoritmo de Euclides, agora dividimos g por r_1.

Passo 5

Dividimos g = x^3+4x^2+4x+3 por r_1 = x^2+x+1. O quociente inicial é x pois x^3/x^2=x:
x\cdot r_1 = x^3+x^2+x.
Subtraindo:
g - x r_1 = (x^3+4x^2+4x+3) - (x^3+x^2+x) = 3x^2+3x+3 = 3(x^2+x+1).
Esse resto ainda tem grau 2, então há mais um termo no quociente: 3. Multiplicando 3\cdot r_1 = 3x^2+3x+3 e subtraindo obtemos resto zero. Portanto
g = (x+3)(x^2+x+1).

Passo 6

Como g é múltiplo de r_1 e pela expressão do passo 3 temos
f = (x-3)g + 10 r_1,
substituindo g=(x+3)r_1 obtemos
f = (x-3)(x+3)r_1 + 10 r_1 = \bigl((x-3)(x+3)+10\bigr) r_1,
ou seja, r_1 divide f também. Assim r_1=x^2+x+1 é divisor comum de f e g. Pelo algoritmo de Euclides, como ao dividir g por r_1 obtivemos resto zero, r_1 é o último resto não-nulo e, portanto, é o \gcd (até multiplicação por unidade). Tomamos a versão monica x^2+x+1.

Passo 7

Conclusão final: o máximo divisor comum em \mathbb{Q}[x] dos polinômios dados é o polinômio monico x^2+x+1. (Se for preciso, podemos observar que não existe polinômio de grau maior que divida ambos, porque o algoritmo já terminou aqui.)

Resposta

x^{2}+x+1

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