Determine o MDC em
dos seguintes pares de polinômios :
(d)
e
(d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o máximo divisor comum em
dos polinômios
e
Informações dadas: os dois polinômios com coeficientes racionais (aqui inteiros). Pergunta única: qual é
em
.
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem jargão pesado): em
podemos aplicar o algoritmo de Euclides para polinômios — é o mesmo espírito do algoritmo para inteiros: dividir o polinômio de maior grau pelo de menor grau, pegar o resto, repetir até obter resto zero; o último resto não-nulo (normalizado, por conveniência, para ser monico) é o
. Em
multiplicar um polinômio por uma constante não nula não altera os divisores comuns, então podemos escalar restos para ficar com polinômios monicos e contas mais limpas.
Passo 3
Dividimos
por
. Primeiro quociente candidato é
porque
lead(f)/lead(g)=x{4}/x{3}=x
. Calculo:
Subtraindo de
:
Como o resto ainda tem grau
(igual ao de
), continuamos a divisão: o próximo termo do quociente é
porque
. Então o quociente parcial é
. Multiplicamos:
Somando os efeitos (ou subtraindo
de
) obtemos o resto final:
Logo a divisão é
Passo 4
Observação importante: o resto é
. Em
podemos dividir esse resto por
(constante não nula) sem alterar os divisores comuns, então tomamos como representante do resto o polinômio monico
Assim, pelo algoritmo de Euclides, agora dividimos
por
.
Passo 5
Dividimos
por
. O quociente inicial é
pois
:
Subtraindo:
Esse resto ainda tem grau
, então há mais um termo no quociente:
. Multiplicando
e subtraindo obtemos resto zero. Portanto
Passo 6
Como
é múltiplo de
e pela expressão do passo 3 temos
substituindo
obtemos
ou seja,
divide
também. Assim
é divisor comum de
e
. Pelo algoritmo de Euclides, como ao dividir
por
obtivemos resto zero,
é o último resto não-nulo e, portanto, é o
(até multiplicação por unidade). Tomamos a versão monica
.
Passo 7
Conclusão final: o máximo divisor comum em
dos polinômios dados é o polinômio monico
. (Se for preciso, podemos observar que não existe polinômio de grau maior que divida ambos, porque o algoritmo já terminou aqui.)