Determine a média da função f(x) = x^2 + 1 no intervalo [0, 2].

Passo 1

O exercício pede para encontrar a média da função f(x)=x^2+1 no intervalo [0,2]. O conteúdo aqui é o valor médio de uma função contínua num intervalo, e vamos precisar da definição que envolve integrais definidas.

Passo 2

Lembrando a definição de valor médio de uma função f em [a,b]:
bar f = 1b-aintegrala^b f(x),dx
No nosso caso, a=0, b=2 e f(x)=x^2+1.

Passo 3

Montamos a integral para calcular o valor médio:
bar f = 12-0integral0^2 l(x^2+1r),dx = 12(integral0^2 x^2,dx + integral0^2 1,dx)
Aqui separamos em duas integrais mais simples.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
Para integral0^2 x^2,dx:
integral0^2 x^2,dx = [x^33]0^2 = 2^33-0 = 83
Para integral0^2 1,dx:
integral0^2 1,dx = [x]0^2 = 2-0 = 2

Passo 5

Somando os resultados e aplicando o fator 1/2:
bar f = 12l(83 + 2r) = 12l(83 + 63r) = 12cdot 143 = 146 = 73

Resposta

A média da função no intervalo [0,2] é 73.

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