Qual o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral 5 m , cujas áreas das bases medem, respectivamente,
e
?
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal. Dados fornecidos (todos em metros ou metros quadrados):
Pergunta: qual é o volume do tronco?
Passo 2
Entender relações geométricas úteis (aulas rápidas e práticas):
- As duas bases são hexágonos regulares semelhantes (porque o tronco vem de cortar uma pirâmide regular por um plano paralelo à base). Em figuras semelhantes, as razões lineares são a raiz quadrada das razões de áreas. Ou seja, se
é a razão linear (lado do hexágono menor dividido pelo lado do maior), então
- Para um hexágono regular de lado
, a área é
Além disso, para o hexágono regular a distância do centro ao vértice (circunrádio) é igual ao lado, isto é,
. Isso facilita: a diferença horizontal entre vértices correspondentes das duas bases é
.
- A aresta lateral
forma com a altura do tronco um triângulo retângulo cuja outra cateto é . Logo,
- A fórmula do volume do tronco de pirâmide (qualquer base poligonal) é
onde
é a altura (distância perpendicular entre as bases).
Passo 3
Calcular a razão linear
entre as bases usando as áreas:
Isso significa que todos os comprimentos lineares do hexágono menor são
dos do maior.
Passo 4
Encontrar o lado (e, portanto, o circunrádio) do hexágono maior e do menor. Usamos a fórmula da área do hexágono regular
. Para a base maior:
Isolando
:
Logo
Como
, temos
Para hexágonos regulares, o circunrádio é o próprio lado, então
Passo 5
Calcular a altura
usando a relação com a aresta lateral
. A diferença de circunrádios é
Usando
, com
:
Assim
(altura positiva).
Passo 6
Calcular
para usar na fórmula do volume:
Passo 7
Aplicar a fórmula do volume do tronco:
Substituindo
,
,
e
:
Unidade:
.