Qual o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral 5 m , cujas áreas das bases medem, respectivamente, 54 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} e 6 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal. Dados fornecidos (todos em metros ou metros quadrados):
A_1 = 54\sqrt{3}\\ \text{m}^2 \quad\text{(área da base maior)}á
A_2 = 6\sqrt{3}\\ \text{m}^2 \quad\text{(área da base menor)}á
\ell = 5\\ \text{m} \quad\text{(aresta lateral, ou seja, aresta inclinada que liga vértices correspondentes)}é
Pergunta: qual é o volume do tronco?

Passo 2

Entender relações geométricas úteis (aulas rápidas e práticas):
  • As duas bases são hexágonos regulares semelhantes (porque o tronco vem de cortar uma pirâmide regular por um plano paralelo à base). Em figuras semelhantes, as razões lineares são a raiz quadrada das razões de áreas. Ou seja, se k é a razão linear (lado do hexágono menor dividido pelo lado do maior), então
k = \sqrt{\dfrac{A_2}{A_1}}.
  • Para um hexágono regular de lado a, a área é
A=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2.
Além disso, para o hexágono regular a distância do centro ao vértice (circunrádio) é igual ao lado, isto é, R=a. Isso facilita: a diferença horizontal entre vértices correspondentes das duas bases é R_1-R_2 = a_1-a_2.
  • A aresta lateral \ell forma com a altura h do tronco um triângulo retângulo cuja outra cateto é R_1-R_2. Logo,
\ell^2 = h^2 + (R_1-R_2)^2.
  • A fórmula do volume do tronco de pirâmide (qualquer base poligonal) é
V=\dfrac{h}{3}\bigl(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}\bigr),
onde h é a altura (distância perpendicular entre as bases).

Passo 3

Calcular a razão linear k entre as bases usando as áreas:
k=\sqrt{\dfrac{A_2}{A_1}}=\sqrt{\dfrac{6\sqrt{3}}{54\sqrt{3}}}=\sqrt{\dfrac{6}{54}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}.
Isso significa que todos os comprimentos lineares do hexágono menor são \tfrac{1}{3} dos do maior.

Passo 4

Encontrar o lado (e, portanto, o circunrádio) do hexágono maior e do menor. Usamos a fórmula da área do hexágono regular \displaystyle A=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2. Para a base maior:
54\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a_1^2.
Isolando a_1^2:
a_1^2=\dfrac{2\cdot 54\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{108\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=36.
Logo
a_1=6\\ \text{m}.
Como k=\tfrac{1}{3}, temos
a_2=k a_1=\dfrac{1}{3}\cdot 6=2\\ \text{m}.
Para hexágonos regulares, o circunrádio é o próprio lado, então
R_1=a_1=6,\quad R_2=a_2=2.

Passo 5

Calcular a altura h usando a relação com a aresta lateral \ell. A diferença de circunrádios é
R_1-R_2=6-2=4\\ \text{m}.
Usando \ell^2 = h^2 + (R_1-R_2)^2, com \ell=5:
5^2 = h^2 + 4^2 \quad\Rightarrow\quad 25 = h^2 + 16.
Assim
h^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad h = 3\\ \text{m}
(altura positiva).

Passo 6

Calcular \sqrt{A_1A_2} para usar na fórmula do volume:
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{54\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}=\sqrt{(54\cdot 6)(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})}=\sqrt{324\cdot 3}=\sqrt{972}=18\sqrt{3}.

Passo 7

Aplicar a fórmula do volume do tronco:
V=\dfrac{h}{3}\bigl(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}\bigr).
Substituindo h=3, A_1=54\sqrt{3}, A_2=6\sqrt{3} e \sqrt{A_1A_2}=18\sqrt{3}:
V=\dfrac{3}{3}\bigl(54\sqrt{3}+6\sqrt{3}+18\sqrt{3}\bigr)=1\cdot(78\sqrt{3})=78\sqrt{3}.
Unidade: \text{m}^3.

Resposta

78\sqrt{3}\\ \text{m}^3

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