Determine a medida do ângulo em radianos entre os vetores u=(2,0,3) e v=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a medida do ângulo, em radianos, entre os vetores $ u = (2, 0, 3) $ e $ v = (1, 1, 1) $. Para isso, vamos trabalhar com produtos escalares e normas de vetores, que são conceitos de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o produto escalar dos vetores $ u $ e $ v $. O produto escalar é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos dois vetores. A fórmula é:
u
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
v

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) de cada vetor. A norma de um vetor $ u = (u_1, u_2, u_3) $ é dada por:
u = (u1, u2, u3)
Fazendo isso para $ u $ e $ v $:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
u

Passo 4

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = 5raiz13 times raiz3 = 5raiz39

Passo 5

Para encontrar o ângulo $ \theta $, precisamos aplicar a função arccoseno (ou inversa do cosseno) ao valor que encontramos:
theta
Calculando isso:
theta = arccos(5raiz39)

Resposta

O ângulo entre os vetores $ u $ e $ v $ mede aproximadamente $ 0,64 $ radianos.

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