Determine a medida do ângulo em radianos entre os vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a medida do ângulo, em radianos, entre os vetores $ u = (2, 0, 3) $ e $ v = (1, 1, 1) $. Para isso, vamos trabalhar com produtos escalares e normas de vetores, que são conceitos de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o produto escalar dos vetores $ u $ e $ v $. O produto escalar é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos dois vetores. A fórmula é:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) de cada vetor. A norma de um vetor $ u = (u_1, u_2, u_3) $ é dada por:
Fazendo isso para $ u $ e $ v $:
Passo 4
Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Para encontrar o ângulo $ \theta $, precisamos aplicar a função arccoseno (ou inversa do cosseno) ao valor que encontramos:
Calculando isso:
Resposta
O ângulo entre os vetores $ u $ e $ v $ mede aproximadamente $ 0,64 $ radianos.