Considere os vetores
. Encontre os valores
para os quais
Passo 1
Beleza! A gente tem dois vetores, $ u = (1, 2) $ e $ v = (2, 1) $. A pergunta é para encontrar os valores de $ \lambda $ que fazem o produto interno de $ \lambda u + v $ com $ u + \lambda v $ ser igual a zero. A matéria aqui envolve álgebra vetorial, especificamente produto interno de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos montar os vetores $ \lambda u + v $ e $ u + \lambda v $. Isso significa que a gente vai multiplicar cada componente de $ u $ por $ \lambda $ e somar com $ v $, e vice-versa.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno desses dois vetores. O produto interno de dois vetores $ (a, b) $ e $ (c, d) $ é $ a \cdot c + b \cdot d $.
Aplicando isso:
Passo 4
Vamos expandir os termos:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática $ 4\lambda^2 + 10\lambda + 4 = 0 $. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 4 $, $ b = 10 $, e $ c = 4 $.
Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Resposta
Os valores de $ \lambda $ que satisfazem a condição são $ \lambda = -\frac{1}{2} $ e $ \lambda = -2 $.