Considere os vetores u=(1,2), v=(2,1). Encontre os valores lambda in R para os quais
lang<=lambda u+v, u+lambda vrang<==0

Passo 1

Beleza! A gente tem dois vetores, $ u = (1, 2) $ e $ v = (2, 1) $. A pergunta é para encontrar os valores de $ \lambda $ que fazem o produto interno de $ \lambda u + v $ com $ u + \lambda v $ ser igual a zero. A matéria aqui envolve álgebra vetorial, especificamente produto interno de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar os vetores $ \lambda u + v $ e $ u + \lambda v $. Isso significa que a gente vai multiplicar cada componente de $ u $ por $ \lambda $ e somar com $ v $, e vice-versa.
Então:
lambda u + v
u + lambda v

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno desses dois vetores. O produto interno de dois vetores $ (a, b) $ e $ (c, d) $ é $ a \cdot c + b \cdot d $.
Aplicando isso:
(a, b)

Passo 4

Vamos expandir os termos:
(lambda + 2)(1 + 2lambda) = lambda cdot 1 + lambda cdot 2lambda + 2 cdot 1 + 2 cdot 2lambda = lambda + 2lambda^2 + 2 + 4lambda
(2lambda + 1)(2 + lambda) = 2lambda cdot 2 + 2lambda cdot lambda + 1 cdot 2 + 1 cdot lambda = 4lambda + 2lambda^2 + 2 + lambda
Somando tudo:
(lambda + 2lambda^2 + 2 + 4lambda) + (4lambda + 2lambda^2 + 2 + lambda) = 0
4lambda^2 + 10lambda + 4 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática $ 4\lambda^2 + 10\lambda + 4 = 0 $. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
4lambda^2 + 10lambda + 4 = 0
Onde $ a = 4 $, $ b = 10 $, e $ c = 4 $.
Calculando o discriminante:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
a = 4
Então:
b = 10
Isso dá duas soluções:
c = 4
De

Resposta

Os valores de $ \lambda $ que satisfazem a condição são $ \lambda = -\frac{1}{2} $ e $ \lambda = -2 $.

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