Calcule a medida do raio da base de um cilindro equilátero, sabendo que sua área total mede 300 \pi \mathrm{~cm}^{2} e a geratriz 40 cm .

Passo 1

Dados do enunciado:
  • Área total do cilindro: \,300\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • Geratriz: \,40\\ \mathrm{cm}.

    O que o problema pede: calcular a medida do raio da base, isto é, encontrar \,r em centímetros.

Passo 2

Entendendo as grandezas e a fórmula da área total do cilindro. Expliquei devagar porque essa parte é importante na prova: a área total de um cilindro é a soma da área das duas bases mais a área lateral.
  • Cada base é um círculo de raio \,r, cuja área é \pi r^2. Como há duas bases, a contribuição das bases é \,2\pi r^2.
  • A área lateral é a de um retângulo que tem altura igual à geratriz (ou altura) h e largura igual à circunferência da base 2\pi r. Então a área lateral é \,2\pi r h.

    Portanto a fórmula da área total é
A_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h.
Aqui \,r é o raio da base (que queremos) e \,h é a geratriz/altura do cilindro.

Passo 3

Substituímos os dados do enunciado na fórmula. A geratriz dada é \,40\\ \mathrm{cm}, então tomamos \,h=40. A área total dada é \,300\pi. Substituindo:
300\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r\cdot 40.

Passo 4

Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por \pi, para não carregar \pi nas contas, e depois organizamos em forma de equação quadrática:
300 = 2 r^2 + 80 r.
Dividindo por 2:
150 = r^2 + 40 r.
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
r^2 + 40 r - 150 = 0.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação \,ar^2 + br + c = 0, as soluções são
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=40, c=-150. Então
r = \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4\cdot1\cdot(-150)}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 + 600}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{2200}}{2}.

Passo 6

Simplificamos \sqrt{2200}. Observamos que 2200 = 100\cdot 22, então \sqrt{2200} = 10\sqrt{22}. Assim
r = \frac{-40 \pm 10\sqrt{22}}{2} = -20 \pm 5\sqrt{22}.
Como o raio deve ser positivo, escolhemos a raiz com o sinal +:
r = -20 + 5\sqrt{22}.

Passo 7

Damos uma aproximação numérica para o resultado (útil na prova para checagem rápida). Calculando \sqrt{22}\approx 4,690, temos
r \approx -20 + 5\cdot 4,690 = -20 + 23,452 = 3,452\\ \mathrm{cm}.
(Arredondei para três casas decimais.)

Passo 8

Checagem rápida para ver se o valor encontrado reproduz a área total dada:
Calculemos aproximadamente as contribuições com r\approx 3,452 e h=40:
2\pi r^2 \approx 2\pi\cdot(3,452)^2 \approx 23,84\pi,
2\pi r h \approx 2\pi\cdot 3,452\cdot 40 \approx 276,16\pi,
soma \approx 300,00\pi, ou seja, bate (diferença por arredondamento). Boa! Isso confirma que o valor faz sentido.

Resposta

\,r = -20 + 5\sqrt{22} \approx 3,452\\ \mathrm{cm}

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