Calcule a medida do raio da base de um cilindro equilátero, sabendo que sua área total mede
e a geratriz 40 cm .
Passo 1
Dados do enunciado:
- Área total do cilindro:
. - Geratriz:
.
O que o problema pede: calcular a medida do raio da base, isto é, encontrarem centímetros.
Passo 2
Entendendo as grandezas e a fórmula da área total do cilindro. Expliquei devagar porque essa parte é importante na prova: a área total de um cilindro é a soma da área das duas bases mais a área lateral.
- Cada base é um círculo de raio
, cuja área é . Como há duas bases, a contribuição das bases é . - A área lateral é a de um retângulo que tem altura igual à geratriz (ou altura)
e largura igual à circunferência da base . Então a área lateral é .
Portanto a fórmula da área total é
Aqui
é o raio da base (que queremos) e
é a geratriz/altura do cilindro.
Passo 3
Substituímos os dados do enunciado na fórmula. A geratriz dada é
, então tomamos
. A área total dada é
. Substituindo:
Passo 4
Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por
, para não carregar
nas contas, e depois organizamos em forma de equação quadrática:
Dividindo por
:
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação
, as soluções são
Aqui
,
,
. Então
Passo 6
Simplificamos
. Observamos que
, então
. Assim
Como o raio deve ser positivo, escolhemos a raiz com o sinal
:
Passo 7
Damos uma aproximação numérica para o resultado (útil na prova para checagem rápida). Calculando
, temos
(Arredondei para três casas decimais.)
Passo 8
Checagem rápida para ver se o valor encontrado reproduz a área total dada:
Calculemos aproximadamente as contribuições com e
:
Calculemos aproximadamente as contribuições com
soma
, ou seja, bate (diferença por arredondamento). Boa! Isso confirma que o valor faz sentido.