Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8 m de altura e 2 m de diâmetro. Determine a superfície total do depósito.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: \text{altura } h = 8\\ \text{m}
\text{diâmetro } d = 2\\ \text{m}â
  • Pedido:
    Determinar a superfície total do depósito cilíndrico (ou seja, a área total externa do cilindro, incluindo a lateral e as duas bases).

Passo 2

Entendimento do que compõe a superfície total de um cilindro:
  • Um cilindro reto tem três partes que contribuem para a superfície total:
    1. a superfície lateral (envoltório),
    2. a base superior (círculo),
    3. a base inferior (círculo).
  • Portanto a superfície total S é a soma da área lateral A_{\text{lat}} com as áreas das duas bases 2A_{\text{base}}: S = A_{\text{lat}} + 2A_{\text{base}}.

Passo 3

Fórmula da área lateral — explicação didática:
  • Se “desenrolarmos” a superfície lateral de um cilindro, ela vira um retângulo cuja altura é h e cuja largura é o comprimento da circunferência da base, que é 2\pi r, onde r é o raio.
  • Logo, a área lateral é produto da altura pela largura: A_{\text{lat}} = (\text{circunferência})\cdot(\text{altura}) = 2\pi r \cdot h.ê
  • Aqui, r é o raio da base (metade do diâmetro) e h é a altura.

Passo 4

Fórmula da área da base — explicação:
  • Cada base é um círculo de raio r. A área de um círculo é A_{\text{base}} = \pi r^{2}.
  • Como há duas bases (superior e inferior), a contribuição total das bases é 2\pi r^{2}.

Passo 5

Expressão geral para a superfície total:
  • Somando lateral e bases: S = 2\pi r h + 2\pi r^{2}.
  • Podemos fatorar 2\pi r se quisermos: S = 2\pi r (h + r).
  • Explicação breve: isso é só fator comum 2\pi r multiplicando as duas parcelas.

Passo 6

Calcular o raio a partir do diâmetro e substituir os valores:
  • O raio é metade do diâmetro, então com d=2\\ \text{m} temos r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1\\ \text{m}.
  • Agora usamos r=1\\ \text{m} e h=8\\ \text{m} na fórmula da superfície total: S = 2\pi r (h + r) = 2\pi\cdot 1 \cdot (8 + 1).

Passo 7

Fazer as contas e apresentar resultado exato e aproximado:
  • Primeiro a conta exata: S = 2\pi \cdot 1 \cdot 9 = 18\pi\\ \text{m}^{2}.
  • Se quisermos um valor numérico aproximado, usamos \pi \approx 3,14159. Assim S \approx 18 \times 3,14159 \approx 56,5487\\ \text{m}^{2},que arredondando para duas casas decimais fica 56,55\\ \text{m}^{2}.

Resposta

18\pi\\ \text{m}^{2}
\approx 56,55\\ \text{m}^{2}

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