Determine o volume de um tronco de cone com raio da base inferior de 4 cm , raio da base superior de 2 cm e altura de 6 cm .

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de cone (tronco de cone é um cone “cortado” paralelamente à base). Os dados fornecidos são:
  • raio da base inferior: R=4\\ \text{cm},
  • raio da base superior: r=2\\ \text{cm},
  • altura do tronco: h=6\\ \text{cm}.
A pergunta é: calcular o volume do tronco de cone com esses valores.

Passo 2

Ideia geral e escolha do método (sem complicar): uma maneira simples e padrão de obter o volume do tronco é considerar que ele é a diferença entre o volume de um cone maior (que teria raio R e certa altura H) e o volume do cone menor que foi “cortado” (com raio r e altura H-h). Vou usar essa ideia porque é direta e exige apenas semelhança de triângulos e a fórmula do volume do cone. Não é preciso cálculo complicado nem integração.

Passo 3

Lembrando a fórmula do volume de um cone: o volume de um cone de raio da base a e altura b é
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi a^{2} b.
Agora aplicando à nossa construção: seja H a altura do cone maior (o cone que contém o tronco), então o cone pequeno removido tem altura H-h. Pela semelhança de triângulos (raios proporcionais às alturas):
\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}.
Dessa igualdade podemos usar algumas relações úteis nos passos seguintes.

Passo 4

Volume do tronco = volume do cone maior menos volume do cone menor:
V=V_{\text{maior}}-V_{\text{menor}} =\frac{1}{3}\pi R^{2}H-\frac{1}{3}\pi r^{2}(H-h).
Factorizando \frac{1}{3}\pi H no que for conveniente e usando a relação da semelhança para simplificar, primeiro escrevo H-h=\dfrac{H r}{R} (isso vem de \dfrac{r}{R}=\dfrac{H-h}{H}, multiplicando por H obtém-se H-h=H\cdot\dfrac{r}{R}). Substituindo:
V=\frac{1}{3}\pi\Big(R^{2}H - r^{2}\cdot\frac{H r}{R}\Big) =\frac{1}{3}\pi H\Big(R^{2}-\frac{r^{3}}{R}\Big).
Colocando num único quociente:
V=\frac{1}{3}\pi H\cdot\frac{R^{3}-r^{3}}{R}.
Agora usar a fatoração de diferença de cubos R^{3}-r^{3}=(R-r)(R^{2}+Rr+r^{2}):
V=\frac{1}{3}\pi H\cdot\frac{(R-r)(R^{2}+Rr+r^{2})}{R}.
Mas da relação inicial \dfrac{r}{R}=\dfrac{H-h}{H} podemos manipular para obter H=\dfrac{R\,h}{R-r}. Substituindo H na expressão anterior, o fator \dfrac{H}{R}(R-r) simplifica exatamente para h. Assim obtemos a fórmula padrão do tronco:
V=\frac{1}{3}\pi\,h\,(R^{2}+Rr+r^{2}).
Essa é a fórmula que vamos aplicar (é bom decorá-la para prova).

Passo 5

Agora aplico a fórmula com os números dados. Primeiro calculo os quadrados e o produto:
R^{2}=4^{2}=16,\qquad Rr=4\cdot2=8,\qquad r^{2}=2^{2}=4.
Somando:
R^{2}+Rr+r^{2}=16+8+4=28.
Substituindo na fórmula:
V=\frac{1}{3}\pi\cdot h\cdot 28 =\frac{1}{3}\pi\cdot 6\cdot 28.
Faço as contas passo a passo:
\frac{1}{3}\cdot 6=2,\qquad 2\cdot 28=56,
logo
V=56\pi\\ \text{cm}^{3}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática: o volume exato é 56\pi\\ \text{cm}^{3}. Se precisar de valor numérico aproximado, use \pi\approx3,14159:
V\approx56\cdot3{,}14159\approx175{,}93\\ \text{cm}^{3}.
Dica para a prova: decore a fórmula \dfrac{1}{3}\pi h(R^{2}+Rr+r^{2}) e, se quiser, derive mentalmente como diferença de cones se esquecer — isso é rápido e seguro.

Resposta

56\pi\\ \text{cm}^{3}

Exercícios relacionados