Determine o volume de um tronco de cone com raio da base inferior de 4 cm , raio da base superior de 2 cm e altura de 6 cm .
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tronco de cone (tronco de cone é um cone “cortado” paralelamente à base). Os dados fornecidos são:
- raio da base inferior:
, - raio da base superior:
, - altura do tronco:
.
A pergunta é: calcular o volume do tronco de cone com esses valores.
Passo 2
Ideia geral e escolha do método (sem complicar): uma maneira simples e padrão de obter o volume do tronco é considerar que ele é a diferença entre o volume de um cone maior (que teria raio
e certa altura
) e o volume do cone menor que foi “cortado” (com raio
e altura
). Vou usar essa ideia porque é direta e exige apenas semelhança de triângulos e a fórmula do volume do cone. Não é preciso cálculo complicado nem integração.
Passo 3
Lembrando a fórmula do volume de um cone: o volume de um cone de raio da base
e altura
é
Agora aplicando à nossa construção: seja
a altura do cone maior (o cone que contém o tronco), então o cone pequeno removido tem altura
. Pela semelhança de triângulos (raios proporcionais às alturas):
Dessa igualdade podemos usar algumas relações úteis nos passos seguintes.
Passo 4
Volume do tronco = volume do cone maior menos volume do cone menor:
Factorizando
no que for conveniente e usando a relação da semelhança para simplificar, primeiro escrevo
(isso vem de
, multiplicando por
obtém-se
). Substituindo:
Colocando num único quociente:
Agora usar a fatoração de diferença de cubos
:
Mas da relação inicial
podemos manipular para obter
. Substituindo
na expressão anterior, o fator
simplifica exatamente para
. Assim obtemos a fórmula padrão do tronco:
Essa é a fórmula que vamos aplicar (é bom decorá-la para prova).
Passo 5
Agora aplico a fórmula com os números dados. Primeiro calculo os quadrados e o produto:
Somando:
Substituindo na fórmula:
Faço as contas passo a passo:
logo
Passo 6
Interpretação final e dica prática: o volume exato é
. Se precisar de valor numérico aproximado, use
:
Dica para a prova: decore a fórmula
e, se quiser, derive mentalmente como diferença de cones se esquecer — isso é rápido e seguro.