Determine a medida do volume de um cone equilátero cuja área total mede 54 \pi \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cone equilátero sabendo que sua área total vale \,54\pi\text{ cm}^2. Aqui o conteúdo é geometria de sólidos: usamos a definição de cone equilátero (generatriz igual ao diâmetro da base), fórmulas de área total e de volume de cone.

Passo 2

Num cone equilátero a generatriz g satisfaz
g = 2r,
onde r é o raio da base. A área total S_t de um cone é
S_t = \pi r^2 + \pi r\,g.
Substituindo g=2r temos
S_t = \pi r^2 + \pi r\,(2r) = 3\pi r^2.
Como S_t=54\pi, resulta
3\pi r^2 = 54\pi \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 18 \quad\Longrightarrow\quad r = 3\sqrt{2}.

Passo 3

Para obter a altura h usamos Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura:
h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{(2r)^2 - r^2} = \sqrt{4r^2 - r^2} = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3} = 3\sqrt{2}\,\sqrt{3} = 3\sqrt{6}.

Passo 4

O volume V de um cone é
V = \frac{1}{3}\,\pi r^2\,h.
Substituindo r^2=18 e h=3\sqrt{6}
V = \frac{1}{3}\,\pi \cdot 18 \cdot 3\sqrt{6} = 18\pi\sqrt{6}.

Resposta

O volume do cone equilátero é 18\pi\sqrt{6}\text{ cm}^3.

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