Determine por meio do Wronskiano se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
(e) y1(x), y1(x) integral 1y1(x)^2 e^-integral p(x) d x d x, com y1(x) neq 0 função diferenciável qualquer

Passo 1

Temos as funções y1(x) e y2(x)=y1(x)integral 1y1(x)^2 e^-integral p(x),dx,dx. O conteúdo é o Wronskiano de duas soluções de uma EDO de 2ª ordem, e vamos usar a definição W(y1,y2)=y1y2'-y1'y2.

Passo 2

Definindo u(x)=integral 1y1(x)^2 e^-integral p(x),dx,dx, escrevemos y2(x)=y1(x),u(x). Pela regra do produto e pela derivada de uma integral, obtemos
y2'(x)=y1'(x),u(x)+y1(x),u'(x)
com
u'(x)=1y1(x)^2 e^-integral p(x),dx

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)=y1,y2'-y1',y2 =y1l(y1'u+y1u'r)-y1',(y1u) =y1^2,u'
Substituindo u' fica
$$W(y_1,y_2)=y_12\cdot\frac{1}{y_12}e^{-\int p(x),dx}
=e^{-\int p(x),dx}.$$

Passo 4

Como e^-integral p(x),dx nunca é zero, concluímos que o Wronskiano é não nulo em todo domínio considerado, implicando que as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções são linearmente independentes pois o Wronskiano é e^-integral p(x),dxneq 0.

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