Determine por meio do Wronskiano se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
(e)
, com
função diferenciável qualquer
(e)
Passo 1
Temos as funções
e
. O conteúdo é o Wronskiano de duas soluções de uma EDO de 2ª ordem, e vamos usar a definição
.
Passo 2
Definindo
, escrevemos
. Pela regra do produto e pela derivada de uma integral, obtemos
com
Passo 3
Agora calculamos o Wronskiano:
Substituindo
fica
$$W(y_1,y_2)=y_12\cdot\frac{1}{y_12}e^{-\int p(x),dx}
=e^{-\int p(x),dx}.$$
Passo 4
Como
nunca é zero, concluímos que o Wronskiano é não nulo em todo domínio considerado, implicando que as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções são linearmente independentes pois o Wronskiano é
.