Determine por meio do Wronskiano se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
(d) sen(2 x), cos (x) sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para testar se as funções f1(x)=sin(2x) e f2(x)=cos(x)sin(x) são linearmente independentes usando o Wronskiano. O conteúdo principal aqui é entender a definição de Wronskiano e relacionar derivadas das funções.

Passo 2

Primeiro, a gente simplifica f2. Sabemos que cos(x)sin(x)=tfrac12sin(2x). Assim, podemos reescrever as funções como:
f1(x)=sin(2x),
f2(x)=tfrac12sin(2x)
Agora calculamos as derivadas:
f1'(x)=2cos(2x),
f2'(x)=tfrac12cdot2cos(2x)=cos(2x)

Passo 3

Com as funções e derivadas em mãos, montamos o Wronskiano:
W(x)= sin(2x) & tfrac12sin(2x) 2cos(2x) & cos(2x)
Calculando o determinante:
W(x)=sin(2x)cdotcos(2x)-tfrac12sin(2x)cdot2cos(2x)=sin(2x)cos(2x)-sin(2x)cos(2x)=0

Passo 4

Como o Wronskiano é identicamente zero em todo o domínio e as funções são contínuas, concluímos que f1 e f2 são linearmente dependentes.

Resposta

As funções são linearmente dependentes, pois o Wronskiano é zero.

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