Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
14 cdot 5+15 cdot 6+ldots+1(n+3)(n+4)+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é analisar se a série
14 cdot 5+15 cdot 6+ldots+1(n+3)(n+4)+ldots
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teorema (11.19) ou Teorema (11.20), que nos ajudam a determinar a convergência de séries. Vamos precisar trabalhar com frações parciais para simplificar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é 1(n+3)(n+4) = An+3 + Bn+4 . Para isso, usamos frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complexas em frações mais simples que são mais fáceis de somar.
A gente escreve:
1 = A(n+4) + B(n+3)
Vamos encontrar os valores de 1 = A(-4+4) + B(-4+3) Rightarrow 1 = 0 + B(-1) Rightarrow B = -1 e 1 = A(-3+4) + B(-3+3) Rightarrow 1 = A(1) + 0 Rightarrow A = 1 . Multiplicando ambos os lados por 1(n+3)(n+4) = 1n+3 - 1n+4 , temos:
Para achar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação. Por exemplo, se :
Agora, se :
Então, temos:

Passo 3

Com a expressão simplificada, vamos reescrever a série original:
sumn=1^infty ( 1n+3 - 1n+4 )
Essa série é do tipo telescópica, o que significa que há termos que se cancelam quando somamos vários deles. Vamos ver isso na prática expandindo os primeiros termos:
( 14 - 15 ) + ( 15 - 16 ) + ( 16 - 17 ) + ldots
Aí você percebe que , , etc., se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o somatório. Se somarmos os primeiros SN = 14 - 1N+4 termos, teremos:
limN to infty SN = 14 - limN to infty 1N+4 = 14 - 0 = 14
Para saber o que acontece quando tende ao infinito, analisamos o limite:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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