Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é analisar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teorema (11.19) ou Teorema (11.20), que nos ajudam a determinar a convergência de séries. Vamos precisar trabalhar com frações parciais para simplificar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é
. Para isso, usamos frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complexas em frações mais simples que são mais fáceis de somar.
A gente escreve:
Vamos encontrar os valores de
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para achar
e
, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Por exemplo, se
:
Agora, se
:
Então, temos:
Passo 3
Com a expressão simplificada, vamos reescrever a série original:
Essa série é do tipo telescópica, o que significa que há termos que se cancelam quando somamos vários deles. Vamos ver isso na prática expandindo os primeiros termos:
Aí você percebe que
,
, etc., se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo.
Passo 4
Agora, vamos calcular o somatório. Se somarmos os primeiros
termos, teremos:
Para saber o que acontece quando
tende ao infinito, analisamos o limite:
Resposta
A série converge e a soma dela é
.