Determine por meio do Wronskiano se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
ln (x), ln (x^3)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Wronskiano e verificar se as funções f1(x)=ln(x) e f2(x)=ln(x^3) são linearmente independentes. O conteúdo é teste de independência linear via Wronskiano, e vamos precisar calcular derivadas e o determinante da matriz de Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas das funções. Para f1(x)=ln(x) temos
f1'(x)=1x,
e para f2(x)=ln(x^3)=3ln(x) temos
f2'(x)=3cdot1x=3x

Passo 3

Em seguida, montamos o Wronskiano definido por
W(f1,f2)(x)=f1(x),f2'(x)-f2(x),f1'(x)
Substituindo os valores, obtemos
W(f1,f2)(x)=ln(x)cdot3x-l(3ln(x)r)cdot1x=3ln(x)x-3ln(x)x=0

Passo 4

Como o Wronskiano é identicamente zero em todo o domínio (0,infty), isso indica que as funções são linearmente dependentes nesse intervalo.

Resposta

As funções são linearmente dependentes, pois o Wronskiano é zero em todo o domínio.

Exercícios relacionados