Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular
indicada.
Passo 1
Temos a equação homogênea (1−x²)y″−2x y′+2y=0 e já sabemos uma solução particular y₁(x)=x. O conteúdo aqui é resolução de EDOs lineares de 2ª ordem pelo método de redução de ordem.
Passo 2
Para usar redução de ordem, primeiro passamos a EDO para a forma padrão y″+P(x)y′+Q(x)y=0. Dividindo por (1−x²) obtemos:
Passo 3
Identifico o coeficiente de y′: P(x)=−2x/(1−x²). Calculo o fator e^{-∫P dx}:
Passo 4
Aplico a fórmula de redução de ordem para achar y₂:
Passo 5
Faço fração parcial para integrar:
Integrando cada termo: ∫1/x²dx=−1/x, ∫(1/2)/(1−x)dx=−(1/2)ln|1−x|, ∫(1/2)/(1+x)dx=(1/2)ln|1+x|.
Passo 6
Somando, a integral dá
Logo escolhemos C=0 e
Em alternativa usamos artanh:
Passo 7
As duas soluções independentes são y₁=x e y₂=x artanh(x)−1. A solução geral fica
Resposta
A segunda solução independente é
e, portanto, a solução geral da equação é
.