Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0, y1(x)=x

Passo 1

Temos a equação homogênea (1−x²)y″−2x y′+2y=0 e já sabemos uma solução particular y₁(x)=x. O conteúdo aqui é resolução de EDOs lineares de 2ª ordem pelo método de redução de ordem.

Passo 2

Para usar redução de ordem, primeiro passamos a EDO para a forma padrão y″+P(x)y′+Q(x)y=0. Dividindo por (1−x²) obtemos:
y''-2x1-x^2y'+21-x^2y=0

Passo 3

Identifico o coeficiente de y′: P(x)=−2x/(1−x²). Calculo o fator e^{-∫P dx}:
-!!integral P(x),dx=integral2x1-x^2dx=-ln|1-x^2|Rightarrow e^-!integral Pdx=11-x^2

Passo 4

Aplico a fórmula de redução de ordem para achar y₂:
y2=y1integrale^-integral Pdxy1^2dx=xintegral1x^2(1-x^2)dx

Passo 5

Faço fração parcial para integrar:
1x^2(1-x^2)=1x^2+1211-x+1211+x
Integrando cada termo: ∫1/x²dx=−1/x, ∫(1/2)/(1−x)dx=−(1/2)ln|1−x|, ∫(1/2)/(1+x)dx=(1/2)ln|1+x|.

Passo 6

Somando, a integral dá
-1x+12ln1+x1-x+C
Logo escolhemos C=0 e
y2(x)=xl(-1x+12ln1+x1-xr)=-1+x2ln1+x1-x
Em alternativa usamos artanh:
y2(x)=x,arctanh(x)-1

Passo 7

As duas soluções independentes são y₁=x e y₂=x artanh(x)−1. A solução geral fica
y(x)=C1x+C2l(x,arctanh(x)-1r)

Resposta

A segunda solução independente é y2(x)=x,arctanh(x)-1 e, portanto, a solução geral da equação é y(x)=C1x+C2l(x,arctanh(x)-1r).

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