Determine o memento estático em relação ao eixo x da área plana limitada pela curva
, no
quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o momento estático em relação ao eixo x da área no segundo quadrante limitada pela curva $ y^{2} = x + 4 $. Isso está relacionado ao estudo de estática e geometria analítica. Pra resolver isso, vamos usar integração para calcular o momento estático, que basicamente envolve integrar certas funções sobre a área definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva $ y^{2} = x + 4 $. Podemos reescrever essa equação para expressar $ x $ em função de $ y $:
Essa é uma parábola que abre para a direita, deslocada 4 unidades para a esquerda no eixo x. No segundo quadrante, o $ x $ é negativo e o $ y $ é positivo.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. No segundo quadrante, $ y $ varia de 0 a 2, porque quando $ x = -4 $, $ y = 0 $, e quando $ x = 0 $, $ y = 2 $ (pois $ 2^{2} = 4 $).
Então, para cada valor de $ y $ entre 0 e 2, $ x $ varia de $ y^{2} - 4 $ até 0.
Passo 4
O momento estático em relação ao eixo x ($ M_x $) é dado pela integral dupla da função $ y $ sobre a área $ A $:
Podemos expressar $ dA $ como $ dx , dy $. Então, nossa integral fica:
Primeiro, integramos em relação a $ x $:
Agora, integramos em relação a $ y $:
Calculando a integral:
Subtraindo as duas integrais:
Resposta
O momento estático em relação ao eixo x da área considerada é 4 unidades.