Determine o memento estático em relação ao eixo x da área plana limitada pela curva y^2=x+4, no 2^0 quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o momento estático em relação ao eixo x da área no segundo quadrante limitada pela curva $ y^{2} = x + 4 $. Isso está relacionado ao estudo de estática e geometria analítica. Pra resolver isso, vamos usar integração para calcular o momento estático, que basicamente envolve integrar certas funções sobre a área definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva $ y^{2} = x + 4 $. Podemos reescrever essa equação para expressar $ x $ em função de $ y $:
y^2 = x + 4
Essa é uma parábola que abre para a direita, deslocada 4 unidades para a esquerda no eixo x. No segundo quadrante, o $ x $ é negativo e o $ y $ é positivo.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. No segundo quadrante, $ y $ varia de 0 a 2, porque quando $ x = -4 $, $ y = 0 $, e quando $ x = 0 $, $ y = 2 $ (pois $ 2^{2} = 4 $).
Então, para cada valor de $ y $ entre 0 e 2, $ x $ varia de $ y^{2} - 4 $ até 0.

Passo 4

O momento estático em relação ao eixo x ($ M_x $) é dado pela integral dupla da função $ y $ sobre a área $ A $:
Mx
Podemos expressar $ dA $ como $ dx , dy $. Então, nossa integral fica:
y
Primeiro, integramos em relação a $ x $:
A
Agora, integramos em relação a $ y $:
Mx = integral integralA y , dA
Calculando a integral:
dA
dx , dy
Subtraindo as duas integrais:
Mx = integral0^2 integraly^2 - 4^0 y , dx , dy

Resposta

O momento estático em relação ao eixo x da área considerada é 4 unidades.

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