Determine o momento de inércia em relaçao ao eixo dos y daa área limitada pela curva
e pela reta
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de momento de inércia, que é uma medida de como a área está distribuída em relação a um eixo. A questão pede para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva $ y = 9 - x^{2} $ e pela reta $ y = 0 $. Para isso, vamos precisar da fórmula do momento de inércia para áreas em relação ao eixo y e fazer integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que estamos analisando. A curva $ y = 9 - x^{2} $ é uma parábola que abre para baixo e intercepta o eixo y no ponto (0,9). A reta $ y = 0 $ é o eixo x. Para achar os limites de integração, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos $ 9 - x^{2} = 0 $:
Então, os limites de integração para x vão de -3 a 3.
Passo 4
A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo y é:
Aqui, $ y = 9 - x^{2} $, então substituímos na fórmula:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, avaliamos a expressão nos limites de -3 a 3:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva $ y = 9 - x^{2} $ e pela reta $ y = 0 $ é 64,8 unidades de comprimento à quarta potência.