Determine o momento de inércia em relaçao ao eixo dos y daa área limitada pela curva y=9-x^2 e pela reta y=0.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de momento de inércia, que é uma medida de como a área está distribuída em relação a um eixo. A questão pede para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva $ y = 9 - x^{2} $ e pela reta $ y = 0 $. Para isso, vamos precisar da fórmula do momento de inércia para áreas em relação ao eixo y e fazer integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que estamos analisando. A curva $ y = 9 - x^{2} $ é uma parábola que abre para baixo e intercepta o eixo y no ponto (0,9). A reta $ y = 0 $ é o eixo x. Para achar os limites de integração, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos $ 9 - x^{2} = 0 $:
9 - x^2 = 0
Então, os limites de integração para x vão de -3 a 3.

Passo 4

A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo y é:
Iy = integrala^b x^2 cdot y , dx
Aqui, $ y = 9 - x^{2} $, então substituímos na fórmula:
y = 9 - x^2

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Iy = integral-3^3 (9x^2 - x^4) , dx
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando:
integral (9x^2) , dx = 9 cdot x^33 = 3x^3
integral (-x^4) , dx = - x^55
Então, a integral completa fica:
Iy = [ 3x^3 - x^55 ]-3^3

Passo 7

Agora, avaliamos a expressão nos limites de -3 a 3:
Iy = ( 3(3)^3 - (3)^55 ) - ( 3(-3)^3 - (-3)^55 )
Calculando cada parte:
3(27) - 2435 = 81 - 48.6 = 32.4
3(-27) - -2435 = -81 + 48.6 = -32.4
Então:
Iy = 32.4 - (-32.4) = 64.8

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitada pela curva $ y = 9 - x^{2} $ e pela reta $ y = 0 $ é 64,8 unidades de comprimento à quarta potência.

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