Troque a ordem de integração na integral iterada
integral0^3 d y integraly-6^6-y f(x, y) d x
Esboce o domínio de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla onde a gente precisa trocar a ordem de integração. A matéria envolvida é cálculo integral múltiplo, especificamente a troca de ordem de integração em integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o domínio de integração, ou seja, a região no plano $ xy $ onde vamos integrar a função $ f(x, y) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração que temos. A integral original é:
integral0^3 dy integraly-6^6-y f(x, y) dx
Isso significa que $ y $ varia de 0 a 3. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ y - 6 $ a $ 6 - y $.

Passo 3

Vamos desenhar o domínio de integração para visualizar melhor. Vamos plotar as linhas que definem os limites de $ x $:
  1. $ x = y - 6 $
  2. $ x = 6 - y $
  3. $ y = 0 $
  4. $ y = 3 $

Passo 4

Para desenhar essas linhas:
  • A linha $ x = y - 6 $ é uma reta com inclinação 1, interceptando o eixo $ x $ em $ x = -6 $ quando $ y = 0 $.
  • A linha $ x = 6 - y $ é uma reta com inclinação -1, interceptando o eixo $ x $ em $ x = 6 $ quando $ y = 0 $.
  • As linhas $ y = 0 $ e $ y = 3 $ são horizontais, cortando o plano nos respectivos valores de $ y $.

Passo 5

Ao plotar essas linhas, percebemos que o domínio de integração é um losango ou uma região em forma de diamante limitada pelos quatro lados definidos pelas retas acima. Essa é a área onde vamos integrar a função $ f(x, y) $.

Passo 6

Agora, para trocar a ordem de integração, precisamos expressar $ y $ em função de $ x $. Observando o domínio, para cada $ x $, $ y $ varia entre duas funções de $ x $:
  • A parte inferior é dada por $ y = x + 6 $ (invertendo $ x = y - 6 $).
  • A parte superior é dada por $ y = 6 - x $ (invertendo $ x = 6 - y $).

Passo 7

Também precisamos determinar os limites de $ x $. Observando o domínio, $ x $ varia de $ -6 $ a $ 6 $.

Passo 8

Então, a integral com a ordem de integração trocada fica:
integral-6^6 dx integralx + 6^6 - x f(x, y) dy

Resposta

Após trocar a ordem de integração, a integral iterada fica:
integral-6^6 dx integralx + 6^6 - x f(x, y) dy
E o domínio de integração é a região no plano $ xy $ delimitada pelas retas $ x = y - 6 $, $ x = 6 - y $, $ y = 0 $ e $ y = 3 $, formando uma área em forma de losango.

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