Troque a ordem de integração na integral iterada
Esboce o domínio de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla onde a gente precisa trocar a ordem de integração. A matéria envolvida é cálculo integral múltiplo, especificamente a troca de ordem de integração em integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o domínio de integração, ou seja, a região no plano $ xy $ onde vamos integrar a função $ f(x, y) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração que temos. A integral original é:
Isso significa que $ y $ varia de 0 a 3. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ y - 6 $ a $ 6 - y $.
Passo 3
Vamos desenhar o domínio de integração para visualizar melhor. Vamos plotar as linhas que definem os limites de $ x $:
- $ x = y - 6 $
- $ x = 6 - y $
- $ y = 0 $
- $ y = 3 $
Passo 4
Para desenhar essas linhas:
- A linha $ x = y - 6 $ é uma reta com inclinação 1, interceptando o eixo $ x $ em $ x = -6 $ quando $ y = 0 $.
- A linha $ x = 6 - y $ é uma reta com inclinação -1, interceptando o eixo $ x $ em $ x = 6 $ quando $ y = 0 $.
- As linhas $ y = 0 $ e $ y = 3 $ são horizontais, cortando o plano nos respectivos valores de $ y $.
Passo 5
Ao plotar essas linhas, percebemos que o domínio de integração é um losango ou uma região em forma de diamante limitada pelos quatro lados definidos pelas retas acima. Essa é a área onde vamos integrar a função $ f(x, y) $.
Passo 6
Agora, para trocar a ordem de integração, precisamos expressar $ y $ em função de $ x $. Observando o domínio, para cada $ x $, $ y $ varia entre duas funções de $ x $:
- A parte inferior é dada por $ y = x + 6 $ (invertendo $ x = y - 6 $).
- A parte superior é dada por $ y = 6 - x $ (invertendo $ x = 6 - y $).
Passo 7
Também precisamos determinar os limites de $ x $. Observando o domínio, $ x $ varia de $ -6 $ a $ 6 $.
Passo 8
Então, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Resposta
Após trocar a ordem de integração, a integral iterada fica:
E o domínio de integração é a região no plano $ xy $ delimitada pelas retas $ x = y - 6 $, $ x = 6 - y $, $ y = 0 $ e $ y = 3 $, formando uma área em forma de losango.