Determine a menor distância entre os planos paralelos 2 x+3 y-z=2 e 2 x+3 y-z=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a menor distância entre os planos paralelos 2x+3y–z=2 e 2x+3y–z=4. O conteúdo aqui é distância entre planos paralelos, e vamos precisar usar a fórmula que envolve o vetor normal comum a ambos.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, identificamos o vetor normal aos planos como n = (2, 3, –1), pois os coeficientes de x, y e z são iguais em ambos. Calculamos a norma de n para usar no denominador:
|n| = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14

Passo 3

Agora escrevemos cada plano na forma Ax + By + Cz + D = 0:
2x + 3y - z - 2 = 0,
2x + 3y - z - 4 = 0

Passo 4

Dessa forma, temos D1 = -2 e D2 = -4. A fórmula da distância entre planos paralelos é:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 5

Substituindo os valores, obtemos:
d = |(-4) - (-2)|raiz14 = 2raiz14

Resposta

2raiz14

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