Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=3 x-y, D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1

Passo 1

A questão pede pra encontrar os extremos absolutos de f(x,y)=3x−y no disco D: x²+y²≤1. O conteúdo envolvido é teoria de extrema de funções de duas variáveis em conjuntos compactos: como ∇f≠0, a gente não tem crítico interno e precisa buscar só na fronteira (x²+y²=1), usando multiplicadores de Lagrange ou parametrização.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f: nabla f=(3,,-1). Como esse vetor nunca é (0,0), não existem pontos críticos dentro do disco. Logo, os extremos estão na fronteira x^2+y^2=1.

Passo 3

Definimos o multiplicador com a função restrição g(x,y)=x²+y²−1=0 e impomos nabla f=lambdanabla g. Isso dá o sistema
3=2λx e −1=2λy.

Passo 4

Daí isolamos x e y em função de λ:
x=32lambda, y=−12lambda. Substituindo em x^2+y^2=1 vem
9+14lambda^2=1 , então lambda=pmraiz102.

Passo 5

Para lambda=+raiz102 obtemos x=3raiz10, y=−1raiz10 e para lambda=−raiz102 o ponto fica oposto. Avaliando f nesses pontos a gente acha o valor máximo raiz10 e mínimo -raiz10.

Resposta

O valor máximo é f= raiz10 no ponto (3/raiz10,,-1/raiz10) e o valor mínimo é f= -raiz10 no ponto (-3/raiz10,,1/raiz10).

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