Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
Passo 1
A questão pede pra encontrar os extremos absolutos de f(x,y)=3x−y no disco D: x²+y²≤1. O conteúdo envolvido é teoria de extrema de funções de duas variáveis em conjuntos compactos: como ∇f≠0, a gente não tem crítico interno e precisa buscar só na fronteira (x²+y²=1), usando multiplicadores de Lagrange ou parametrização.
Passo 2
Calculamos o gradiente de f:
. Como esse vetor nunca é (0,0), não existem pontos críticos dentro do disco. Logo, os extremos estão na fronteira
.
Passo 3
Definimos o multiplicador com a função restrição g(x,y)=x²+y²−1=0 e impomos
. Isso dá o sistema
3=2λx e −1=2λy.
3=2λx e −1=2λy.
Passo 4
Daí isolamos x e y em função de λ:
. Substituindo em
vem
, então
.
Passo 5
Para
obtemos
e para
o ponto fica oposto. Avaliando f nesses pontos a gente acha o valor máximo
e mínimo
.
Resposta
O valor máximo é f=
no ponto
e o valor mínimo é f=
no ponto
.