Seja
f(x, y)=k(x-y)^2+y^42-y^22, k neq 0
Encontre os pontos críticos da função f.

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=k(x-y)^2+y^42-y^22, kneq0
E o objetivo é encontrar os pontos críticos, ou seja, os pares (x,y) onde o gradiente de f é o vetor nulo.

Passo 2

Para achar pontos críticos de uma função de duas variáveis a gente usa o que é chamado de gradiente. O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr)
Pontos críticos são as soluções do sistema
partial fpartial x=0, partial fpartial y=0

Passo 3

Calculamos primeiro
partial fpartial x=2k(x-y)
Igualando a zero:
2k(x-y)=0
Como kneq0, concluímos
x-y=0Rightarrow x=y

Passo 4

Agora calculamos
partial fpartial y=-2k(x-y)+2y^3-y
Substituindo x=y nessa expressão, o termo -2k(x-y) some e sobra
2y^3-y=yl(2y^2-1r)
Igualamos a zero:
yl(2y^2-1r)=0

Passo 5

Da equação y(2y^2-1)=0 vêm as soluções
y=0 ou 2y^2-1=0Rightarrow y=pm1raiz2
Como x=y, os pontos críticos são
(0,0),l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r),l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)

Resposta

Os pontos críticos de f são (0,0), (1/raiz2,,1/raiz2) e (-1/raiz2,,-1/raiz2).

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