Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
e

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores absoluto máximo e mínimo de f(x,y)=xy no conjunto compacto D=(x,y)in R^2:x>=0,y>=0,2x+y<=5. Como f é contínua em D fechado e limitado, sabemos pelo Teorema do Valor Extremo que existem máximo e mínimo absolutos. Vamos usar o método de pontos críticos no interior e avaliar as fronteiras de D.

Passo 2

Calculamos os pontos críticos no interior de D. O gradiente é nabla f=(y,x). Igualando nabla f=0 y=0 e x=0, ou seja o ponto (0,0), que fica na fronteira de D. Logo não há pontos críticos no interior propriamente dito.

Passo 3

Agora avaliamos as fronteiras de D. Primeiro as arestas coordenadas: se x=0 (com 0<= y<=5) ou y=0 (com 0<= x<=5/2), então f(x,y)=xy=0.

Passo 4

Falta a reta oblíqua definida por 2x+y=5. Nela, escrevemos y=5-2x com 0<= x<=5/2. Substituindo em f temos a função de uma variável:
g(x)=x(5-2x)=5x-2x^2, 0<= x<= 52
É uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de -2<0). O vértice está em
xv=-b2a=-52cdot(-2)=54

Passo 5

Calculando g(5/4):
gl(54r)=5cdot54-2l(54r)^2=254-2cdot2516=254-258=258
Nos extremos da aresta oblíqua ( x=0 e x=5/2) retorna g=0.

Passo 6

Comparando todos os valores de f encontramos que o valor máximo absoluto é 25/8 na reta oblíqua, e o mínimo absoluto é 0, atingido sempre que x=0 ou y=0.

Resposta

Mínimo absoluto: 0, ocorre em qualquer ponto com x=0 ou y=0 (e 2x+y<=5). Máximo absoluto: tfrac258, ocorre no ponto l(tfrac54,tfrac52r).

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