Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
e
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores absoluto máximo e mínimo de
no conjunto compacto
. Como
é contínua em
fechado e limitado, sabemos pelo Teorema do Valor Extremo que existem máximo e mínimo absolutos. Vamos usar o método de pontos críticos no interior e avaliar as fronteiras de
.
Passo 2
Calculamos os pontos críticos no interior de
. O gradiente é
. Igualando
dá
e
, ou seja o ponto
, que fica na fronteira de
. Logo não há pontos críticos no interior propriamente dito.
Passo 3
Agora avaliamos as fronteiras de
. Primeiro as arestas coordenadas: se
(com
) ou
(com
), então
.
Passo 4
Falta a reta oblíqua definida por
. Nela, escrevemos
com
. Substituindo em
temos a função de uma variável:
É uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de
<0). O vértice está em
Passo 5
Calculando
:
Nos extremos da aresta oblíqua (
e
) retorna
.
Passo 6
Comparando todos os valores de
encontramos que o valor máximo absoluto é
na reta oblíqua, e o mínimo absoluto é
, atingido sempre que
ou
.
Resposta
Mínimo absoluto:
, ocorre em qualquer ponto com
ou
(e
). Máximo absoluto:
, ocorre no ponto
.