Determine a menor distância do ponto P=(2,1,-1) ao plano 4 x-3 y+z=56 e dê o ponto do plano em que a distância é mínima.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância do ponto P=(2,1,-1) ao plano
4x - 3y + z = 56
e também o ponto Q desse plano que atinge essa distância mínima. O conteúdo envolve distância ponto--plano e projeção ortogonal.

Passo 2

A fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 3

Reescrevendo o plano em forma Ax+By+Cz+D=0 temos
4x - 3y + z - 56 = 0,
portanto A=4, B=-3, C=1 e D=-56. Avaliando em P:
A x_0 + B y_0 + C z_0 + D =4\cdot2 + (-3)\cdot1 +1\cdot(-1) -56 =8 -3 -1 -56 = -52.

Passo 4

Logo a menor distância é
d = \frac{\lvert -52\rvert}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{52}{\sqrt{16 + 9 + 1}} = \frac{52}{\sqrt{26}} = 2\sqrt{26}.

Passo 5

Para achar o ponto Q mais próximo usamos a projeção ortogonal. A fórmula do pé da perpendicular é
Q = P - \frac{A x_0 + B y_0 + C z_0 + D}{A^2+B^2+C^2}\,(A,B,C).

Passo 6

Como \frac{A x_0 + B y_0 + C z_0 + D}{A^2+B^2+C^2} = \frac{-52}{26} = -2, temos
Q = (2,1,-1) - (-2)\,(4,-3,1) = (2,1,-1) + (8,-6,2) = (10,-5,1).
Verificamos que 4\cdot10 -3\cdot(-5) +1 =56, então Q pertence ao plano.

Resposta

A menor distância é 2\sqrt{26} e o ponto do plano é (10,-5,1).

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