Vamos resolver a integral de linha:
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} \text { com } \vec{F}(x, y)=(-1-2 y,-2 x-2 y) \text { e } \vec{r}(t)=\left(-2 t^{3}-2,2 t^{2}-1\right), t \in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}(x,y)=(-1-2y,\,-2x-2y) e C é dado pela parametrização
\vec{r}(t)=\bigl(-2t^{3}-2,\;2t^{2}-1\bigr),\quad t\in[0,1].
O conteúdo principal é reconhecer que, se \vec{F} for um campo conservativo, podemos usar o potencial escalar \varphi e aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr).

Passo 2

Verificamos se \vec{F}=(P,Q) é conservativo, comparando \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x:
P(x,y)=-1-2y\quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial P}{\partial y}=-2,
Q(x,y)=-2x-2y\quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial Q}{\partial x}=-2.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o campo é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Construímos um potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Começamos por
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=-1-2y
e integramos em x:
\varphi(x,y)=-x-2xy+h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-2x + h'(y)\overset{!}{=}Q(x,y)=-2x-2y,
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h'(y)=-2y\quad\Longrightarrow\quad h(y)=-y^2 + C.
Podemos tomar C=0. Assim,
\varphi(x,y)=-x-2xy - y^2.

Passo 4

Calculamos \vec{r}(0) e \vec{r}(1):
\vec{r}(0)=(-2,\,-1), \quad \vec{r}(1)=(-2\cdot1^3-2,\;2\cdot1^2-1)=(-4,\,1).
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\varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)=\varphi(-4,1)=-(-4)-2\cdot(-4)\cdot1-1^2=4+8-1=11,
\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr)=\varphi(-2,-1)=-(-2)-2\cdot(-2)\cdot(-1)-(-1)^2=2-4-1=-3.
Pelo Teorema Fundamental,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr) =11-(-3)=14.

Resposta

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