Obtenha o máximo de
para
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor máximo de
no domínio
.
O conteúdo da matéria é otimização de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
O conteúdo da matéria é otimização de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero para achar pontos críticos.
A derivada em relação a é
A derivada em relação a
e em relação a
é
Para
e
com
e
, é necessário
logo o único candidato é
.
Passo 3
Vamos verificar que
é máximo usando o Hessiano.
Primeiro obtemos as segundas derivadas:
Primeiro obtemos as segundas derivadas:
Em
temos
O Hessiano é
que é definido negativo. Portanto
é um ponto de máximo local.]
Passo 4
Na fronteira do domínio (quando
ou
) e quando
, a função tende a zero, ou seja,
Logo o máximo local em
é também máximo global.
Resposta
O valor máximo de
é