Obtenha o máximo de f(x, y)=x y e^{-x-y} para x \geq, y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo de
f(x,y)=x\,y\,e^{-x-y}
no domínio \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0\}.
O conteúdo da matéria é otimização de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero para achar pontos críticos.
A derivada em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x} = y\,e^{-x-y}(1 - x),
e em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,e^{-x-y}(1 - y).
Para \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0 com x>0 e y>0, é necessário
1 - x = 0 \quad\text{e}\quad 1 - y = 0,
logo o único candidato é (x,y)=(1,1).

Passo 3

Vamos verificar que (1,1) é máximo usando o Hessiano.
Primeiro obtemos as segundas derivadas:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,e^{-x-y}(1 - x)\bigr) = y\,e^{-x-y}(x - 2),
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{-x-y}(1 - y)\bigr) = x\,e^{-x-y}(y - 2),
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{-x-y}(1 - x)\bigr) = e^{-x-y}(1 - x)(1 - y).
Em (1,1) temos
f_{xx}(1,1) = -e^{-2},\quad f_{yy}(1,1) = -e^{-2},\quad f_{xy}(1,1) = 0.
O Hessiano é
H = \begin{pmatrix} -\,e^{-2} & 0\\[6pt] 0 & -\,e^{-2} \end{pmatrix},
que é definido negativo. Portanto (1,1) é um ponto de máximo local.]

Passo 4

Na fronteira do domínio (quando x=0 ou y=0) e quando x+y\to\infty, a função tende a zero, ou seja,
f(x,y)\le 0< f(1,1).
Logo o máximo local em (1,1) é também máximo global.

Resposta

O valor máximo de f é
f(1,1)=1\cdot1\cdot e^{-2}=e^{-2}.

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