(12.) Se f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} tem derivada direcional em qualquer direção, no ponto X_{0}, então f é diferenciável em X_{0} ?

Passo 1

O enunciado pergunta: se f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tem derivada direcional em qualquer direção no ponto X_0, então f é diferenciável em X_0? Vamos lembrar os conceitos de derivada direcional (Gateaux) e diferenciabilidade (Fréchet).

Passo 2

A derivada direcional de f em X_0 ao longo de um vetor v é
D_vf(X_0)=\lim_{t\to0}\frac{f(X_0+tv)-f(X_0)}{t},
se esse limite existir. Já diferenciabilidade em X_0 significa que existe um operador linear L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tal que
f(X_0+h)=f(X_0)+L(h)+o(\|h\|),
o que implica em particular continuidade de f em X_0 e que todas as derivadas direcionais existem e obedecem a D_vf(X_0)=L(v).

Passo 3

Para ver que a existência de todas as derivadas direcionais não basta, consideremos o contraexemplo em \mathbb{R}^2\): \[f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Vamos calcular D_{(a,b)}f(0,0)\]. Para \(b\neq0:
\frac{f(ta,tb)-0}{t} =\frac{t^3a^2b}{t\bigl(t^2a^4+b^2\bigr)} =\frac{a^2b}{t^2a^4+b^2} \;\xrightarrow[t\to0]{}\; \frac{a^2b}{b^2}=\frac{a^2}{b}.
Para b=0 temos f(ta,0)=0 e logo D_{(a,0)}f(0,0)=0. Em todo caso cada limite existe, ou seja, todas as derivadas direcionais em (0,0) estão bem definidas.

Passo 4

Mesmo com todas as derivadas direcionais existentes, f não é diferenciável em (0,0), pois não há aplicação linear L que forneça D_vf(0,0)=L(v) para todo v. Além disso, f nem é contínua em (0,0) (por exemplo, ao longo de y=x^2 o valor de f tende a \tfrac12\neq0), o que já impede a diferenciabilidade.

Resposta

Não. Um contraexemplo clássico é
f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
que tem derivadas direcionais em todas as direções, mas não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados