Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar a menor distância entre o ponto
e o plano definido pela equação
. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica em cálculo para encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição. Basicamente, vamos minimizar a distância considerando que o ponto está no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a distância entre um ponto qualquer
e o ponto dado
. A fórmula da distância é:
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância:
Passo 3
Agora, nossa restrição é que o ponto
está no plano
. Vamos chamar essa equação de:
Passo 4
No método dos multiplicadores de Lagrange, definimos uma nova função que combina nossa função a ser minimizada com a restrição, usando um multiplicador
:
Substituindo as funções:
Passo 5
Para encontrar os pontos de mínimo, derivamos
em relação a
,
,
e
e igualamos a zero:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Passo 7
Substituímos as expressões de
e
da (2a) e (3a) na equação da restrição (4):
Passo 8
Agora, substituímos
da equação (1a) na equação (4a):
Passo 9
Com
, encontramos
:
Passo 10
Agora, encontramos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 11
Então, o ponto no plano mais próximo de
é
.
Passo 12
Finalmente, calculamos a distância usando a fórmula da distância:
Resposta
A menor distância entre o ponto
e o plano
é
unidades.