Determine a menor distância entre o ponto (0,-1,1) e o plano
x+2 y-z=4
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a menor distância entre o ponto (0, -1, 1) e o plano definido pela equação x + 2y - z = 4. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica em cálculo para encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição. Basicamente, vamos minimizar a distância considerando que o ponto está no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a distância entre um ponto qualquer (x, y, z) e o ponto dado (0, -1, 1). A fórmula da distância é:
d = raiz(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 1)^2 = raizx^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância:
f(x, y, z) = x^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2

Passo 3

Agora, nossa restrição é que o ponto (x, y, z) está no plano x + 2y - z = 4. Vamos chamar essa equação de:
g(x, y, z) = x + 2y - z - 4 = 0

Passo 4

No método dos multiplicadores de Lagrange, definimos uma nova função que combina nossa função a ser minimizada com a restrição, usando um multiplicador lambda:
L(x, y, z, lambda) = f(x, y, z) + lambda cdot g(x, y, z)
Substituindo as funções:
L(x, y, z, lambda) = x^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 + lambda(x + 2y - z - 4)

Passo 5

Para encontrar os pontos de mínimo, derivamos L em relação a x, y, z e lambda e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 2x + lambda = 0 (1)
partial Lpartial y = 2(y + 1) + 2lambda = 0 (2)
partial Lpartial z = 2(z - 1) - lambda = 0 (3)
partial Lpartial lambda = x + 2y - z - 4 = 0 (4)

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
2x + lambda = 0 Rightarrow lambda = -2x (1a)
Da equação (2):
2(y + 1) + 2lambda = 0 Rightarrow y + 1 + lambda = 0 Rightarrow y = -1 - lambda (2a)
Da equação (3):
2(z - 1) - lambda = 0 Rightarrow z - 1 = lambda2 Rightarrow z = 1 + lambda2 (3a)

Passo 7

Substituímos as expressões de y e z da (2a) e (3a) na equação da restrição (4):
x + 2(-1 - lambda) - (1 + lambda2) - 4 = 0
x - 2 - 2lambda - 1 - lambda2 - 4 = 0
x - 7 - 5lambda2 = 0 Rightarrow x = 7 + 5lambda2 (4a)

Passo 8

Agora, substituímos lambda = -2x da equação (1a) na equação (4a):
x = 7 + 5(-2x)2 = 7 - 5x
x + 5x = 7 Rightarrow 6x = 7 Rightarrow x = 76

Passo 9

Com x = 76, encontramos lambda:
lambda = -2x = -2 cdot 76 = -73

Passo 10

Agora, encontramos y e z:
Para y:
y = -1 - lambda = -1 - (-73) = -1 + 73 = 43
Para z:
z = 1 + lambda2 = 1 + -7/32 = 1 - 76 = -16

Passo 11

Então, o ponto no plano mais próximo de (0, -1, 1) é (76, 43, -16).

Passo 12

Finalmente, calculamos a distância usando a fórmula da distância:
d = raiz(76)^2 + (43 + 1)^2 + (-16 - 1)^2 = raiz4936 + 499 + 4936 = raiz4936 + 19636 + 4936 = raiz29436 = raiz496 = 7raiz6 = 7raiz66

Resposta

A menor distância entre o ponto (0, -1, 1) e o plano x + 2y - z = 4 é 7raiz66 unidades.

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