Determine a menor distância entre o ponto (2,-1,1) e o plano x+y-z=1.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância entre o ponto (2,-1,1) e o plano x+y-z=1. Esse problema usa o conteúdo de distância de um ponto a um plano no espaço, cuja solução envolve aplicar a fórmula da distância ponto-plano.

Passo 2

A fórmula geral da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano
a x + b y + c z + d = 0
é
d = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

Passo 3

Reescrevemos o plano dado x+y-z=1 na forma padrão
x + y - z - 1 = 0,
de onde obtemos
a = 1,\quad b = 1,\quad c = -1,\quad d = -1.

Passo 4

Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(2,-1,1) e os coeficientes do plano na fórmula:
\text{numerador} = \bigl|1\cdot2 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot1 + (-1)\bigr| = \bigl|2 - 1 - 1 - 1\bigr| = \bigl|-1\bigr| = 1,
\text{denominador} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}.
Logo
d = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

A menor distância é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}.

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