f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-16}{x-4}, \text { se } x \neq 4 \\\ L, \text { se } x=4\end{array}\right.
Determine a e b de modo que
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x^{2} \quad \text { se } x<1 \\\ a x+b \quad \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.

Seja diferenciável.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & x<1,\\\ a\,x+b, & x\ge1, \end{cases}
e pede para escolher a e b de modo que f seja diferenciável em x=1. Para isso precisamos de duas condições em x=1: continuidade e igualdade das derivadas laterais.

Passo 2

Condição de continuidade em x=1: \displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).
Pela definição,
\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2=1,
\lim_{x\to1^+}f(x)=a\cdot1+b=a+b,
e f(1)=a\cdot1+b. Logo a continuidade exige
a+b=1.

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=1:
as derivadas laterais devem coincidir em x=1.
Para x<1, f(x)=x^2 e
f'(x)=2x\quad\Longrightarrow\quad f'(1^-)=2\cdot1=2.
Para x>1, f(x)=ax+b e
f'(x)=a\quad\Longrightarrow\quad f'(1^+)=a.
Igualando as derivadas, obtemos a=2.

Passo 4

Substituindo a=2 na equação da continuidade a+b=1, temos
2+b=1 \quad\Longrightarrow\quad b=-1.

Resposta

a=2 e b=-1.

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