Determine a menor distância de y=x^2 ao ponto (0, b), b>0.

Passo 1

Resumo: A gente quer achar a menor distância entre um ponto qualquer da parábola y=x^2 e o ponto (0,b) com b>0. O conteúdo envolvido é otimização de funções (mínimo de distância) usando derivada ou analisando uma função quadrática.

Passo 2

Definindo a função a minimizar: a distância de (x,x^2) a (0,b) é d(x)=raiz(x-0)^2+(x^2-b)^2. Como a raiz não interfere no ponto de mínimo, minimizamos o quadrado da distância.

Passo 3

Substituição e criação de g(t): coloque t=x^2, então
g(t)=x^2+(x^2-b)^2 = t+(t-b)^2 = t^2+(1-2b)t+b^2

Passo 4

Cálculo do mínimo de g(t): é uma quadrática com coeficiente positivo. O vértice fica em
t0= -1-2b2=2b-12
Se t0>=0 (isto é, b>=tfrac12), o mínimo ocorre em t0 e
gmin=g(t0)= -(1-2b)^2-4b^24=4b-14
Se t0<0 (ou seja, b), o menor t permitido é t=0 e então (g(0)=b^2.

Passo 5

Extração da distância mínima: como d=raizg, temos nos dois casos as distâncias correspondentes.

Resposta

A menor distância entre y=x^2 e (0,b) é
b, & se 0=tfrac12

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