Determine o momento da força F=600 \mathrm{~N} em relação ao ponto A.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o momento da força F=600\\ \mathrm{N} em relação ao ponto A.
Informações fornecidas (peguei estes valores da imagem):
  • A força tem módulo F=600\\ \mathrm{N} e atua ao longo de uma corda/varão que liga o ponto B ao ponto C.
  • O ponto A está a 4\\ \mathrm{m} acima do plano xy (ou seja, z_A=4\\ \mathrm{m}).
  • A projeção do ponto B no plano xy está a 4\\ \mathrm{m} do ponto sob A (projeção do A), formando um ângulo de 45^\circ no plano horizontal (peguei o valor 4\\ \mathrm{m} e o ângulo 45^\circ da imagem).
  • Na planta (planta horizontal) o ponto C está a 6\\ \mathrm{m} a uma distância ao longo do eixo y a partir da projeção sob A e 6\\ \mathrm{m} ao longo do eixo x na direção oposta (peguei esses dois deslocamentos de 6\\ \mathrm{m} da imagem). Em outras palavras, usei as medidas de 6\\ \mathrm{m} mostradas na planta para localizar C.
  • A posição vertical de C é no plano do chão, isto é z_C=0 (observação visual na imagem).
Perguntas explícitas:
  • Calcular o vetor momento \vec{M}_A da força em relação a A (vetor momento, em \mathrm{N\cdot m}).

Passo 2

Escolha de um sistema de coordenadas e obtenção das coordenadas dos pontos (explicitei que peguei estes dados da imagem).
  • Coloco a origem O no ponto do chão imediatamente abaixo de A. Assim A=(0,0,4) (peguei 4\\ \mathrm{m} da imagem).
  • A projeção de B no chão fica a 4\\ \mathrm{m} de O no plano horizontal, num ângulo de 45^\circ medido a partir do eixo x na direção mostrada na figura (peguei 4\\ \mathrm{m} e 45^\circ da imagem). Então a coordenada horizontal da projeção de B é x_B = -4\cos45^\circ,\qquad y_B = 4\sin45^\circ,onde o sinal de x_B negativo segue a orientação mostrada na figura (seta do eixo x para a esquerda). Como \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, calculo x_B = -\dfrac{4}{\sqrt{2}}=-2{,}828427\\ \mathrm{m},\qquad y_B = \dfrac{4}{\sqrt{2}}=2{,}828427\\ \mathrm{m}.Como B está na mesma altura do arco mostrado (mesma cota de A), tomo z_B=4\\ \mathrm{m}. Portanto \vec{r}_B = \bigl(-2{,}828427,\;2{,}828427,\;4\bigr)\\ \mathrm{m}.
  • Pelo que extraí da planta, escolho as coordenadas de C conforme os dois deslocamentos de 6\\ \mathrm{m} mostrados na figura (peguei esses dois 6\\ \mathrm{m} da imagem): isto posiciona C em \vec{r}_C = \bigl(-6,\;6,\;0\bigr)\\ \mathrm{m}.
  • O ponto A tem coordenadas \vec{r}_A = \bigl(0,\;0,\;4\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Vetores relevantes: vetor posição de C relativo a A e vetor \overrightarrow{BC} (para achar a direção da força).
  • Vetor posição de C em relação a A: \vec{r}_{AC}=\vec{r}_C-\vec{r}_A=\bigl(-6,\;6,\;0\bigr)-\bigl(0,\;0,\;4\bigr)=\bigl(-6,\;6,\;-4\bigr)\\ \mathrm{m}.Expliquei: este é o vetor cuja origem é A e ponta é C; ele será usado para calcular o momento por \vec{M}_A=\vec{r}_{AC}\times\vec{F}.
  • Vetor de B para C (direção da corda onde atua a força): \overrightarrow{BC}=\vec{r}_C-\vec{r}_B =\bigl(-6,\;6,\;0\bigr)-\bigl(-2{,}828427,\;2{,}828427,\;4\bigr) =\bigl(-3{,}171573,\;3{,}171573,\;-4\bigr)\\ \mathrm{m}.Mostrei os cálculos subtraindo coordenadas uma a uma (usei os valores numéricos obtidos no passo anterior).

Passo 4

Calcular o comprimento da linha BC e o versor (vetor unitário) na direção da força.
  • Comprimento de BC: |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-3{,}171573)^2+(3{,}171573)^2+(-4)^2} =\sqrt{2\cdot(3{,}171573)^2+16}.Computando numericamente, |\overrightarrow{BC}|=6{,}010242\\ \mathrm{m}.
  • Vetor unitário na direção de BC (do ponto B para C; a força aponta nesse sentido conforme a figura, para baixo): \hat{u}_{BC}=\dfrac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|} =\bigl(-0{,}527046,\;0{,}527046,\;-0{,}665202\bigr).Expliquei o que é um vetor unitário: vetor com módulo 1 que indica somente a direção.

Passo 5

Componentes do vetor força \vec{F}.
  • A força tem módulo 600\\ \mathrm{N} e direção dada por \hat{u}_{BC}, logo \vec{F}=600\;\hat{u}_{BC} =600\bigl(-0{,}527046,\;0{,}527046,\;-0{,}665202\bigr)\\ \mathrm{N}.Calculando: \vec{F}\approx\bigl(-316{,}228,\;316{,}228,\;-399{,}121\bigr)\\ \mathrm{N}.(valores aproximados com vírgula decimal conforme o pedido).

Passo 6

Cálculo do momento em relação a A por produto vetorial.
  • Definição que vamos usar: o momento de uma força \vec{F} em relação a A é \vec{M}_A=\vec{r}_{AC}\times\vec{F},onde o produto vetorial de dois vetores \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é \vec{u}\times\vec{v}= \bigl(u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x\bigr).Expliquei essa fórmula passo a passo para você conseguir usar numa prova.
  • Substituindo \vec{r}_{AC}=\bigl(-6,\;6,\;-4\bigr) e \vec{F}=\bigl(-316{,}228,\;316{,}228,\;-399{,}121\bigr): \begin{aligned} M_{Ax}&=r_y F_z - r_z F_y =6\cdot(-399{,}121)-(-4)\cdot316{,}228,\\[4pt] M_{Ay}&=r_z F_x - r_x F_z =(-4)\cdot(-316{,}228)-(-6)\cdot(-399{,}121),\\[4pt] M_{Az}&=r_x F_y - r_y F_x =(-6)\cdot316{,}228-6\cdot(-316{,}228). \end{aligned}
  • Calculando numericamente cada componente: \begin{aligned} M_{Ax}&=6\cdot(-399{,}121)+4\cdot316{,}228=-2{,}394{,}726+1{,}264{,}912=-1{,}129{,}814\\ \mathrm{N\cdot m},\\[4pt] M_{Ay}&=4\cdot316{,}228-(-6)\cdot(-399{,}121)=1{,}264{,}912-2{,}394{,}726=-1{,}129{,}814\\ \mathrm{N\cdot m},\\[4pt] M_{Az}&=(-6)\cdot316{,}228-6\cdot(-316{,}228)= -1{,}897{,}368+1{,}897{,}368=0\\ \mathrm{N\cdot m}. \end{aligned}(arredondei os resultados para três algarismos significativos nas partes relevantes).]

Passo 7

Interpretação final e forma vetorial.
  • O vetor momento em relação a A é, em forma vetorial: \vec{M}_A \approx -1{,}129{,}8\times10^{3}\,\mathbf{i} -1{,}129{,}8\times10^{3}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}\quad(\mathrm{N\cdot m}).
  • O módulo do momento é |\vec{M}_A|=\sqrt{(-1{,}129{,}8\times10^{3})^2+(-1{,}129{,}8\times10^{3})^2} \approx1{,}598\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m},e a direção está no plano xy apontando igualmente nas direções negativas de x e de y (vetor paralelo a -\mathbf{i}-\mathbf{j}).

Resposta

\vec{M}_A \approx -1{,}13\times10^{3}\,\mathbf{i}\;-\;1{,}13\times10^{3}\,\mathbf{j}\;+\;0\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m}

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