*4.28. A grua torre é usada para içar a carga de 2 Mg para cima em velocidade constante. A lança B D de 1,5 \mathrm{Mg} e a lança B C de 0,5 \mathrm{Mg} possuem centros de massa em G_{1}, G_{2}, respectivamente. Determine a massa exigida do contrapeso C para que o momento resultante, produzido pela carga e pelo peso das lanças da grua torre em relação ao ponto A, seja zero. O centro de massa para o contrapeso está localizado em G_{3}.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a massa do contrapeso C para que o momento resultante, produzido pela carga e pelo peso das lanças da grua torre em relação ao ponto A, seja zero.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
Carga levantada: \,2\\ \mathrm{Mg}.
Massa da lança B D: \,1{,}5\\ \mathrm{Mg} com centro de massa em G_{1}.
Massa da lança B C: \,0{,}5\\ \mathrm{Mg} com centro de massa em G_{2}.
Contrapeso C com centro de massa em G_{3} e massa \,m_C (desconhecida).
Distâncias horizontais (peguei da imagem):
distância de B até a linha de ação da carga (gancho): \,12{,}5\\ \mathrm{m};
distância de B até G_{1}: \,12{,}5\\ \mathrm{m} (assumi que o centro de massa da lança BD está alinhado aproximadamente com o gancho na imagem; se a interpretação da figura for diferente, o procedimento é o mesmo, só mudam os números);
distância de B até G_{2}: \,4{,}0\\ \mathrm{m} (para a esquerda de B);
distância de B até G_{3}: \,7{,}5\\ \mathrm{m} (para a esquerda de B).
Observação geométrica: o ponto A está diretamente sob B, logo a distância horizontal de A até cada linha de ação é igual à distância horizontal de B até essa linha de ação.
O objetivo: escolher m_C tal que a soma algébrica dos momentos (torques) em torno de A seja zero.
Passo 2
Conceito físico e fórmula que usamos (aula rápida):
Cada massa m produz um peso W = m g atuando verticalmente para baixo, onde g é a aceleração da gravidade.
O momento (torque) de uma força vertical em relação a um ponto é dado por produto da força pelo braço de alavanca (distância horizontal perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto):
M = W\cdot x = m g \cdot x,
onde x é a distância horizontal (positiva para um lado, negativa para o outro — vamos definir isso no passo seguinte).
Para equilíbrio de momento (momento resultante zero) devemos ter a soma algébrica de todos os momentos em torno de A igual a zero:
\sum M = 0.
Observação prática: como g aparece em todos os termos (todas as forças são pesos verticais), ele cancela; portanto podemos trabalhar diretamente com produtos m\cdot x (massa vezes distância) em vez de m g\cdot x, o que simplifica a conta.
Passo 3
Convenção de sinais e identificação dos termos:
Adoto momentos positivos para as forças que tendem a girar a estrutura no sentido horário (neste esquema, as forças à direita de B produzem momento horário, portanto positivas).
Forças à esquerda de B produzem momento anti-horário, portanto negativas.
Distâncias horizontais (em relação a B, que projeta em A):
Verificação rápida de coerência: a soma das massas à direita (carga + lança BD) produz momento grande (cerca de 43{,}75\\ \mathrm{Mg\cdot m} sem contar a pequena contribuição da lança esquerda), então um contrapeso de aproximadamente 5{,}6\\ \mathrm{Mg} a 7{,}5\\ \mathrm{m} da torre é razoável para equilibrar. A unidade Mg foi mantida durante todo o cálculo porque g cancelou.