*4.28. A grua torre é usada para içar a carga de 2 Mg para cima em velocidade constante. A lança B D de 1,5 \mathrm{Mg} e a lança B C de 0,5 \mathrm{Mg} possuem centros de massa em G_{1}, G_{2}, respectivamente. Determine a massa exigida do contrapeso C para que o momento resultante, produzido pela carga e pelo peso das lanças da grua torre em relação ao ponto A, seja zero. O centro de massa para o contrapeso está localizado em G_{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a massa do contrapeso C para que o momento resultante, produzido pela carga e pelo peso das lanças da grua torre em relação ao ponto A, seja zero.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • Carga levantada: \,2\\ \mathrm{Mg}.
  • Massa da lança B D: \,1{,}5\\ \mathrm{Mg} com centro de massa em G_{1}.
  • Massa da lança B C: \,0{,}5\\ \mathrm{Mg} com centro de massa em G_{2}.
  • Contrapeso C com centro de massa em G_{3} e massa \,m_C (desconhecida).
  • Distâncias horizontais (peguei da imagem):
    • distância de B até a linha de ação da carga (gancho): \,12{,}5\\ \mathrm{m};
    • distância de B até G_{1}: \,12{,}5\\ \mathrm{m} (assumi que o centro de massa da lança BD está alinhado aproximadamente com o gancho na imagem; se a interpretação da figura for diferente, o procedimento é o mesmo, só mudam os números);
    • distância de B até G_{2}: \,4{,}0\\ \mathrm{m} (para a esquerda de B);
    • distância de B até G_{3}: \,7{,}5\\ \mathrm{m} (para a esquerda de B).
  • Observação geométrica: o ponto A está diretamente sob B, logo a distância horizontal de A até cada linha de ação é igual à distância horizontal de B até essa linha de ação.
    O objetivo: escolher m_C tal que a soma algébrica dos momentos (torques) em torno de A seja zero.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que usamos (aula rápida):
  • Cada massa m produz um peso W = m g atuando verticalmente para baixo, onde g é a aceleração da gravidade.
  • O momento (torque) de uma força vertical em relação a um ponto é dado por produto da força pelo braço de alavanca (distância horizontal perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto):
M = W\cdot x = m g \cdot x,
onde x é a distância horizontal (positiva para um lado, negativa para o outro — vamos definir isso no passo seguinte).
  • Para equilíbrio de momento (momento resultante zero) devemos ter a soma algébrica de todos os momentos em torno de A igual a zero:
\sum M = 0.
  • Observação prática: como g aparece em todos os termos (todas as forças são pesos verticais), ele cancela; portanto podemos trabalhar diretamente com produtos m\cdot x (massa vezes distância) em vez de m g\cdot x, o que simplifica a conta.

Passo 3

Convenção de sinais e identificação dos termos:
  • Adoto momentos positivos para as forças que tendem a girar a estrutura no sentido horário (neste esquema, as forças à direita de B produzem momento horário, portanto positivas).
  • Forças à esquerda de B produzem momento anti-horário, portanto negativas.
  • Distâncias horizontais (em relação a B, que projeta em A):
    • carga 2\\ \mathrm{Mg}: x_{\text{carga}} = +12{,}5\\ \mathrm{m};
    • lança BD (massa 1{,}5\\ \mathrm{Mg} em G_1): x_{G1}=+12{,}5\\ \mathrm{m} (assumido da figura);
    • lança BC (massa 0{,}5\\ \mathrm{Mg} em G_2): x_{G2}=-4{,}0\\ \mathrm{m} (esquerda);
    • contrapeso C (massa m_C em G_3): x_{G3}=-7{,}5\\ \mathrm{m} (esquerda).

Passo 4

Equação do equilíbrio de momentos em torno de A. Escrevendo soma algébrica (cada termo é m\cdot x, com g cancelado):
\underbrace{(2{,}0)\,x_{\text{carga}}}_{\text{carga}} \;+\; \underbrace{(1{,}5)\,x_{G1}}_{\text{lança }BD} \;+\; \underbrace{(0{,}5)\,x_{G2}}_{\text{lança }BC} \;+\; \underbrace{m_C\,x_{G3}}_{\text{contrapeso}} \;=\; 0.çç
Note que x_{G2} e x_{G3} são negativos porque ficam à esquerda; x_{\text{carga}} e x_{G1} são positivos.

Passo 5

Substituindo os valores das distâncias e das massas (tudo em \mathrm{Mg} e \mathrm{m}):
(2{,}0)(+12{,}5) + (1{,}5)(+12{,}5) + (0{,}5)(-4{,}0) + m_C(-7{,}5) = 0.
Calcule termo a termo:
(2{,}0)(12{,}5)=25{,}0,
(1{,}5)(12{,}5)=18{,}75,
(0{,}5)(-4{,}0)=-2{,}0.
Somando os três primeiros termos:
25{,}0 + 18{,}75 - 2{,}0 = 41{,}75.
Logo a equação fica
41{,}75 - 7{,}5\,m_C = 0.
Isolando m_C:
m_C = \frac{41{,}75}{7{,}5} = 5{,}566\overline{6}\\ \mathrm{Mg}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
m_C \approx 5{,}57\\ \mathrm{Mg}.
Em quilogramas (lembrando 1\\ \mathrm{Mg}=1000\\ \mathrm{kg}):
m_C \approx 5{,}57\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}\\ = 5570\\ \mathrm{kg}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Verificação rápida de coerência: a soma das massas à direita (carga + lança BD) produz momento grande (cerca de 43{,}75\\ \mathrm{Mg\cdot m} sem contar a pequena contribuição da lança esquerda), então um contrapeso de aproximadamente 5{,}6\\ \mathrm{Mg} a 7{,}5\\ \mathrm{m} da torre é razoável para equilibrar. A unidade Mg foi mantida durante todo o cálculo porque g cancelou.

Resposta

m_C \approx 5{,}57\\ \mathrm{Mg}

Exercícios relacionados