Determine o menor inteiro positivo que deixa resto 1 na divisão por 3 e resto 2 na divisão por 5 .

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo n que satisfaz o sistema de congruências
n equiv 1 pmod3, n equiv 2 pmod5
Esse tipo de problema é resolvido com o Teorema Chinês dos Restos, mas aqui vamos montar as equações passo a passo.

Passo 2

Da primeira congruência escrevemos
n = 3k + 1
para algum inteiro k. Substituímos esse n na segunda congruência:

Passo 3

Queremos
3k + 1 equiv 2 pmod5
Isso é equivalente a
3k equiv 1 pmod5
Como o inverso de 3 módulo 5 é 2 (porque 3cdot2=6equiv1pmod5), multiplicamos ambos os lados por 2 e obtemos
k equiv 2 pmod5,
ou seja, k = 5m + 2 para algum inteiro m.

Passo 4

Substituindo k=5m+2 em n=3k+1, vem
n = 3(5m+2) + 1 = 15m + 7
Para obter o menor inteiro positivo, tomamos m=0, o que dá
n = 15cdot0 + 7 = 7
Verificação rápida: 7div3 tem resto 1 e 7div5 tem resto 2.

Resposta

7

Exercícios relacionados