A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é
e cujo polinômio mínimo é
Passo 1
O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz complexa cuja função característica é
e cujo polinômio mínimo é
Conteúdo: teoria de blocos de Jordan. Para cada autovalor
extraímos da ordem de
a multiplicidade algébrica
e da ordem de
o expoente
(que é o tamanho do maior bloco de Jordan para
). Depois fazemos todas as partições de
cujos blocos têm tamanho
e pelo menos um bloco de tamanho exatamente
.
Passo 2
Teoria: se
é um autovalor com multiplicidade algébrica
e o fator correspondente em
é
, então na forma de Jordan os blocos para
somam
, nenhum bloco excede
em tamanho, e existe pelo menos um bloco de tamanho
.
Passo 3
Autovalor
:
- Multiplicidade algébrica
. - Expoente no m’\i nimo
.
Parti\c{c}~oes decom blocos e pelo menos um bloco de tamanho s~ao s’o
Logo os blocos em
s~ao um
e um
.
Passo 4
Autovalor
:
- Multiplicidade algébrica
. - Expoente no m’\i nimo
.
Parti\c{c}~oes decom blocos e pelo menos um bloco de tamanho s~ao s’o
Logo os blocos em
s~ao um
e um
.
Passo 5
Autovalor
:
- Multiplicidade algébrica
. - Expoente no m’\i nimo
.
Parti\c{c}~oes decom blocos e pelo menos um bloco de tamanho s~ao
Isso gera duas possibilidades de blocos para
.
Passo 6
Como os autovalores são distintos, a forma de Jordan é a soma direta dos blocos de cada valor. Há portanto duas formas possíveis, conforme a escolha em
.
Resposta
(a)
(b)