A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=t^3(t-3)^4(t-5)^4 e cujo polinômio mínimo é m(t)=t^2(t-5)^2(t-3)^3

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz complexa cuja função característica é
p(t)=t^3(t-3)^4(t-5)^4
e cujo polinômio mínimo é
m(t)=t^2(t-5)^2(t-3)^3
Conteúdo: teoria de blocos de Jordan. Para cada autovalor lambda extraímos da ordem de p(t) a multiplicidade algébrica nlambda e da ordem de m(t) o expoente mulambda (que é o tamanho do maior bloco de Jordan para lambda). Depois fazemos todas as partições de nlambda cujos blocos têm tamanho <= mulambda e pelo menos um bloco de tamanho exatamente mulambda.

Passo 2

Teoria: se lambda é um autovalor com multiplicidade algébrica nlambda e o fator correspondente em m(t) é (t-lambda)^mulambda, então na forma de Jordan os blocos para lambda somam nlambda, nenhum bloco excede mulambda em tamanho, e existe pelo menos um bloco de tamanho mulambda.

Passo 3

Autovalor lambda=0:
  • Multiplicidade algébrica n0=3.
  • Expoente no m’\i nimo mu0=2.
    Parti\c{c}~oes de 3 com blocos <= 2 e pelo menos um bloco de tamanho 2 s~ao s’o
(2,1)
Logo os blocos em 0 s~ao um J2(0) e um J1(0).

Passo 4

Autovalor lambda=3:
  • Multiplicidade algébrica n3=4.
  • Expoente no m’\i nimo mu3=3.
    Parti\c{c}~oes de 4 com blocos <= 3 e pelo menos um bloco de tamanho 3 s~ao s’o
(3,1)
Logo os blocos em 3 s~ao um J3(3) e um J1(3).

Passo 5

Autovalor lambda=5:
  • Multiplicidade algébrica n5=4.
  • Expoente no m’\i nimo mu5=2.
    Parti\c{c}~oes de 4 com blocos <= 2 e pelo menos um bloco de tamanho 2 s~ao
(2,2) e (2,1,1)
Isso gera duas possibilidades de blocos para 5.

Passo 6

Como os autovalores são distintos, a forma de Jordan é a soma direta dos blocos de cada valor. Há portanto duas formas possíveis, conforme a escolha em lambda=5.

Resposta

(a) diagl(J2(0),,J1(0),,J3(3),,J1(3),,J2(5),,J2(5)r)
(b) diagl(J2(0),,J1(0),,J3(3),,J1(3),,J2(5),,J1(5),,J1(5)r)

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