A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+1)^3, sabendo que A é uma matriz 6 times 6

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 6times6 sobre C cujo polinômio mínimo é
m(t) = (t+1)^3
O conteúdo aqui é forma canônica de Jordan: sabemos que todos os autovalores são raízes de m(t), logo só lambda=-1, e o expoente 3 em m(t) indica que o maior bloco de Jordan associado a -1 tem tamanho 3.

Passo 2

Em geral, para a forma de Jordan de uma matriz 6times6 com único autovalor -1:
  • cada bloco de Jordan Jk(-1) tem tamanho k,
  • a soma dos tamanhos dos blocos vale 6,
  • o grau de m(t) (aqui 3) é exatamente o tamanho do maior bloco de Jordan.
    Logo todos os blocos têm tamanho <=3 e pelo menos um bloco tem tamanho =3.

Passo 3

Precisamos listar todas as partições de 6 em inteiros ki<=3 com pelo menos um ki=3. Essas partições são:
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1

Passo 4

Cada partição corresponde aos blocos de Jordan seguintes:
  • 3+3 to diagl(J3(-1),,J3(-1)r).
  • 3+2+1 to diagl(J3(-1),,J2(-1),,J1(-1)r).
  • 3+1+1+1 to diagl(J3(-1),,J1(-1),,J1(-1),,J1(-1)r).

Passo 5

Concluímos que estas são todas as formas canônicas de Jordan possíveis para A, até a ordem dos blocos.

Resposta

As três formas canônicas de Jordan (à ordem de blocos) são:
diagl(J3(-1),,J3(-1)r),
diagl(J3(-1),,J2(-1),,J1(-1)r),
diagl(J3(-1),,J1(-1),,J1(-1),,J1(-1)r)

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