A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é
, sabendo que A é uma matriz
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
sobre
cujo polinômio mínimo é
O conteúdo aqui é forma canônica de Jordan: sabemos que todos os autovalores são raízes de
, logo só
, e o expoente
em
indica que o maior bloco de Jordan associado a
tem tamanho
.
Passo 2
Em geral, para a forma de Jordan de uma matriz
com único autovalor
:
- cada bloco de Jordan
tem tamanho , - a soma dos tamanhos dos blocos vale
, - o grau de
(aqui ) é exatamente o tamanho do maior bloco de Jordan.
Logo todos os blocos têm tamanhoe pelo menos um bloco tem tamanho .
Passo 3
Precisamos listar todas as partições de
em inteiros
com pelo menos um
. Essas partições são:
Passo 4
Cada partição corresponde aos blocos de Jordan seguintes:
-
. -
. -
.
Passo 5
Concluímos que estas são todas as formas canônicas de Jordan possíveis para
, até a ordem dos blocos.
Resposta
As três formas canônicas de Jordan (à ordem de blocos) são: