O número 119 tem as seguintes propriedades: (a) a divisão por 2 deixa resto 1; (b) a divisão por 3 deixa resto 2; (c) a divisão por 4 deixa resto 3; (d) a divisão por 5 deixa resto 4. Quantos inteiros positivos menores do que 2013 satisfazem essa propriedade?

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros positivos n<2013 que satisfazem o sistema de congruências
n equiv 1 pmod2, n equiv 2 pmod3, n equiv 3 pmod4, n equiv 4 pmod5
O conteúdo principal é resolução de sistema de congruências (Teorema Chinês dos Restos) e cálculo de mínimo múltiplo comum.

Passo 2

Note que cada condição pode ser escrita como
n + 1 equiv 0 pmod2, n + 1 equiv 0 pmod3, n + 1 equiv 0 pmod4, n + 1 equiv 0 pmod5
Logo n+1 é múltiplo comum de 2, 3, 4 e 5. O mínimo múltiplo comum é
mcm(2,3,4,5) = 60
Portanto toda solução se escreve
n + 1 = 60k Longrightarrow n = 60k - 1,
com kinZ.

Passo 3

Impondo n>0 e n<2013, temos
60k - 1 > 0 Longrightarrow k >= 1,
60k - 1 < 2013 Longrightarrow 60k < 2014 Longrightarrow k <= 33
Logo k pode assumir 33 valores inteiros positivos ( 1 a 33), cada um gerando uma solução distinta.

Resposta

33

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